Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

нии, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность РА(В) равна

РА(В) = 4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый пар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

РАВ(С) = 3/10.

Искомая вероятность

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С)= 5/12 4 /11 3/10 1/ 22.

1.13. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если по-

явление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

РА(В)=Р(В).

Другими словами, событие В не зависит от события А. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что: свойство независимо-

сти событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения

Р(АВ) = Р(А) РА(В)

имеет вид

Р(АВ) = Р(А)Р(В),

21

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Пример 19. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) - 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р(А)Р (В) = 0,7 0,8 0,56.

Событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупно-

сти (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и все возможные произведения остальных. Если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.

Следствие из теоремы умножения. Вероятность совме-

стного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р ( A1, A2 , ... An ) = Р(А1) Р(А2)…Р(Аn).

Пример 20. Найти вероятность совместного появления «орла» при одном бросании двух монет.

Решение: Событие А - появление «орла» у первой монеты.

22

Вероятность события A равна

Р(А)=1/2.

Вероятность появления «орла» у второй монеты, т.е. события В, равна

Р(В)=1/2.

События А и В независимые, поэтому искомая вероятность равна

Р(АВ) =Р(А) Р(В)= 12 12 = 14 .

Пример. 21. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е : Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), равна

Р (А) =8/10 = 0,8.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), равна

Р (В) = 7/10 = 0,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С), равна

Р (С) = 9/10 = 0,9.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (ABC) = P ( A ) P (В) Р(С) = 0,8 0,7 0,9 = 0,504.

23

1.14. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, причем вероятности появления каждого из событий известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий A1 , A2 , …, An :

P(A)=1-q1q2 …qп .

Замечание. Если события А1, А2, …, Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P(A)=1-qп .

Пример. 22. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1=0,8; р2=0,7; р3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия), А3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2 и А3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q1=1-p1=1-0,8=0,2; q2=1-p2=1-0,7=0,3; q3=1-p3=1-0,9=0,1.

Искомая вероятность

P(A)=1-q1q2q3=1- 0,2 0,30,1=0,994.

24

1.15. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, появление четырех очков при бросании игральной кости и появление четного числа очков являются совместными событиями.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Данная теорема справедлива как в случае зависимых событий, так и в случае независимых событий.

Для независимых событий

Р ( А +В) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В),

для зависимых событий

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) -Р(А) РА(В).

Пример. 23. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; p2= 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Р е ш е н и е : Вероятности попадания в цель каждым из орудий не зависят от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Искомая вероятность Р (А + В) равна

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ) = 0,7 + 0,8 -0,7 0,8 = 0,94.

25