Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

реме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит менее k раз; равна Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(k-1). Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит более k раз, равна Pn(k+1)+ Pn(k+2)+…+ Pn(n). Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит не более k раз; равна Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(k).

Пример. 27. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Р е ш е н и е : Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна

р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна

q=1 - р==1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

31

1.19. Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Существует несколько приближенных формул для вычисления искомой вероятности. Одна из них связана с локальная теоремой Лапласа и позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появ-

ления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn (k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции

при x k np / npq .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции, соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция x четна, т. е. x x . Итак,

вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п.

32

Пример. 28. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Р е ш е н и е : По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8.

Воспользуемся формулой Лапласа:

1.20. Интегральная теорема Лапласа

Реализуется схема испытаний Бернулли. Производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Для вычисления вероятности Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k1 и не более k2 раз используется интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

При решении задач, требующих применения интегральной

33

теоремы Лапласа, пользуются таблицами функции Лапласа

для неотрицательных значений х; для х < 0 пользуются той же таблицей, зная, что функция Ф (х) нечетна, т. е.Ф(-х)= - Ф (х). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, а для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5.

Вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k1 до k2 раз,

Pn k1, k2 Ф x- Ф x ,

1.21. Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала ( p 0,1). В этих

случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона

Формула Пуассона справедлива при условии, что произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = k. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Итак, вероятность того, что при очень большом числе ис-

34

пытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз, вычисляется с помощью формулы Пуассона (6).

Пример.29. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Р е ш е н и е : По условию, п = 5000, р = 0,0002, k = 3.

Найдем :

= пр = 5000 • 0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

2.Случайные величины.

2.1.Виды случайных величин

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Например, число родившихся мальчиков среди тысячи новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2,

..., 1000. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, тоже есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а,b).

В первом из примеров случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, ..., 1000.

35