Материал: Теория_игр_УП_ЭК_ЭлРесурс
76
x
i
i
m
1
1
и
n
j
j
y
1
1
.
Выигрыш
игроков
1
и
2
при
применении
смешанных
стратегий
равны
:
Н
А
Y
T
1
( , )
,
Н
В
Y
T
2
( , )
,
где
Т
–
означает
транспонирование
,
т
.
е
.
вектор
строка
записывается
как
вектор
столбец
;
n
m
y
y
y
Y
x
x
x
X
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
–
смешанные
стратегии
игроков
1
и
2
соответственно
.
Определение
ситуации
равновесия
для
случая
биматричной
игры
приобретает
следующую
формулировку
.
Ситуация
(X,Y)
в
биматричной
игре
с
матрицами
выигрышей
А
и
В
является
равновесной
,
если
А
А
Y
i
T
T
,
і
,
1
m
. (5.4)
XB
BY
j
T
,
j
n
1
,
. (5.5)
Очевидно
,
что
при
В
= -
А
биматричная
игра
превращается
в
матричную
.
В
качестве
примера
рассмотрим
биматричную
игру
«
Торг
».
Пример
.
Игра
«
Торг
»
Игрок
1
продает
неделимый
товар
игроку
2.
Игрок
1
должен
решить
,
какую
назначить
цену
:
высокую
или
низкую
.
Для
покупателя
в
принципе
приемлемы
обе
цены
.
Покупатель
не
может
спорить
о
цене
,
он
может
либо
сделать
покупку
,
либо
отказаться
от
нее
.
Платежные
матрицы
игроков
имеют
вид
:
Игрок
2
В
1
–
покупка
В
2
–
отказ
Игрок
1
А
1
–
Высокая
цена
10
5
0
0
А
2
–
Низкая
цена
5
10
0
0
Описание
всех
возможных
ситуаций
в
этой
игре
позволяет
определить
,
что
ситуация
(
А
1
,
В
1
)
является
оптимальной
по
Парето
и
по
Нэшу
.
Ситуация
(
А
2
,
В
2
)
также
является
оптимальной
по
Парето
,
но
не
является
устойчивой
,
т
.
е
.
оптимальной
по
Нэшу
.
Рассмотрим
способ
нахождения
устойчивых
ситуаций
для
биматричных
игр
с
произвольным
количеством
чистых
стратегий
игроков
.
5.5.
Решение
биматричных
игр
Рассмотрим
вначале
биматричную
игру
2
х
2
с
матрицами
выигрышей
,
22
21
12
11
a
a
a
a
А
22
21
12
11
b
b
b
b
B
,
соответственно
игроков
1
и
2.
Как
и
в
случае
матричных
игр
,
смешанные
стратегии
полностью
описываются
вероятностями
p
и
q
выбора
игроками
своих
первых
чистых
стратегий
(
вторые
чистые
стратегии
выбираются
,
очевидно
,
с
вероятностями
1-p
и
1-q.
77
Опишем
порознь
множество
приемлемых
ситуаций
,
для
каждого
из
игроков
и
изобразим
эти
множества
на
единичном
квадрате
p, q,
где
p
[0,1]
и
q
[0,1].
Начнем
с
описания
ситуаций
,
приемлемых
в
игре
для
игрока
1.
Приемлемость
ситуации
(X,Y)
для
игрока
1
в
биматричной
игре
означает
,
что
T
T
А
Y
А
1
; (5.6)
T
T
А
Y
А
2
, (5.7)
где
А
1
и
А
2
–
вектор
строки
,
соответствующие
первой
и
второй
строке
матрицы
А
,
соответственно
.
Подчеркнем
,
что
эти
условия
приемлемости
никак
не
связаны
с
матрицей
В
выигрышей
игрока
2.
Поэтому
они
будут
совпадать
с
аналогичными
условиями
матричной
игры
с
платежной
матрицей
А
.
Приемлемость
ситуации
(X,Y)
для
игрока
2
означает
,
что
XB
BY
T
1
,
(5.8)
XB
BY
T
2
,
(5.9)
где
В
1
и
В
2
–
вектор
-
столбцы
,
соответствующие
первому
и
второму
столбцу
матрицы
В
,
соответственно
.
В
общем
случае
,
Х
=Ip, 1 – pI.
Рассмотрим
три
случая
:
а
)
р
= 1, (
Х
=|1,0|).
Тогда
выражение
(5.6)
превращается
в
тождественное
равенство
,
а
условием
приемлемости
данной
ситуации
для
игрока
1
оказывается
неравенство
(5.7).
Для
рассматриваемого
случая
его
можно
записать
как
T
T
Y
А
А
1
2
; (5.10)
б
)
р
= 0 (
Х
=|1,0|).
В
этом
случае
выражение
(5.7)
превращается
в
тождественное
равенство
,
а
условием
приемлемости
данной
ситуации
для
игрока
2
оказывается
неравенство
(5.6).
Для
рассматриваемого
случая
оно
имеет
вид
T
T
Y
А
А
2
1
; (5.11)
в
) 0
р
1 (
Х
=Ip, 1 – pI).
В
этом
случае
оба
неравенства
(5.6)
и
(5.7)
превращаются
в
равенство
,
и
условием
приемлемости
становится
T
T
Y
А
А
2
1
. (5.12)
Опишем
ситуации
приемлемости
(5.10), (5.11)
и
(5.12)
в
развернутом
виде
.
Так
как
ХА
Y
p
p
а
а
a
a
q
q
a
a
a
a
p q
a
a
p
a
a
q a
T
,
(
)
(
)
(
)
1
1
11
12
21
22
11
22
12
21
12
22
21
22
22
то
соотношения
(5.10), (5.11)
и
(5.12)
можно
соответственно
записать
как
;
a
a
q
)
(a
12
22
21
12
22
11
a
a
a
(5.14)
;
)
(
12
22
21
12
22
11
a
a
q
a
a
a
a
(5.15)
.
)
(
12
22
21
12
22
11
a
a
q
a
a
a
a
(5.16)
Таким
образом
,
приемлемые
для
игрока
1
ситуации
(X,Y)
могут
быть
одного
из
трех
типов
:
( , ),
;
1
22
12
11
22
12
21
q
где
q
a
a
a
a
a
a
(5.17)
78
( , ),
;
0
22
12
11
22
12
21
q
где
q
a
a
a
a
a
a
(5.18)
.
1
р
0
;
),
(
р
,
21
12
22
11
12
22
a
a
a
a
a
a
q
где
q
(5.19)
Неравенства
(5.17)
и
(5.18)
верны
в
случае
,
если
а
11
+
а
22
–
а
12
–
а
21
> 0.
Если
а
11
+
а
22
–
а
12
–
а
21
< 0,
то
знак
неравенства
в
соотношениях
(5.17)
и
(5.18)
необходимо
поменять
на
противоположный
.
Если
величина
а
11
+
а
22
–
а
12
–
а
21
= 0,
а
а
22
–
а
12
0,
то
(5.19)
не
имеет
место
,
поэтому
будет
выполняться
или
(5.17)
и
(5.18),
и
притом
со
знаком
строгого
неравенства
.
Если
же
а
11
+
а
22
–
а
12
–
а
21
= 0
и
а
22
–
а
12
= 0,
то
все
условия
(5.17),
(5.18)
и
(5.19)
выполняются
тождественно
,
и
приемлемыми
для
игрока
1
будут
вообще
все
ситуации
.
Описание
ситуаций
приемлемости
в
развернутом
виде
для
игрока
2
получаем
аналогично
из
неравенств
(5.8)
и
(5.9).
В
общем
случае
Y=|q, 1-q|.
Для
трех
случая
получаем
:
а
) q=1 (Y=|1,0|).
В
этом
случае
приемлемость
ситуации
(X,Y)
равносильна
неравенству
ХВ
ХВ
2
1
,
(5.20)
или
в
развернутом
виде
|p, 1-p|
b
b
p
p
b
b
12
22
11
12
1
,
;
(
)
b
b
b
b
p b
b
11
22
12
21
22
21
.
(5.21)
б
) q=0 (Y=|0,1|).
В
этом
случае
приемлемость
ситуации
(X,Y)
определяется
неравенством
ХВ
ХВ
1
2
,
(5.22)
или
в
развернутом
виде
(
)
b
b
b
b
p b
b
11
22
12
21
21
12
. (5.23)
в
) 0
q
1 (Y = |q,1–q|).
Условие
приемлемости
:
ХВ
ХВ
1
2
,
(5.24)
в
развернутом
виде
(
)
b
b
b
b
p b
b
11
22
12
21
22
21
. (5.25)
Таким
образом
,
приемлемые
для
игрока
2
ситуации
(X,Y)
могут
быть
одного
из
трех
типов
:
(
р
, ),
р
;
1
22
21
11
22
12
21
где
b
b
b
b
b
b
(5.26)
(
р
, ),
р
;
0
22
21
11
22
12
21
где
b
b
b
b
b
b
(5.27)
(
р
, ),
р
.
q
где
b
b
b
b
b
b
22
21
11
22
12
21
(5.28)
Вновь
подчеркнем
,
что
неравенства
(5.26)
и
(5.27)
справедливы
,
если
их
знаменатель
больше
нуля
.
Если
в
11
+
в
22
–
в
12
–
в
21
< 0,
то
знак
неравенства
в
выражениях
(5.26)
и
(5.27)
необходимо
поменять
на
противоположный
.
Для
определения
ситуаций
,
приемлемых
одновременно
как
для
первого
,
так
и
для
второго
игроков
,
удобно
все
найденные
приемлемые
ситуации
представить
на
единичном
квадрате
(
рис
. 5.3).
79
21
12
22
11
21
22
b
b
b
b
b
b
21
12
22
11
12
22
a
a
a
a
a
a
Рис
. 5.3.
Для
случаев
,
когда
а
11
+
а
22
–
а
12
–
а
21
0
и
b
11
+
b
22
–
b
12
–
b
21
0
приемлемые
ситуации
игроков
1
и
2
составляют
трехзвенные
зигзаги
.
Причем
,
ситуации
равновесия
во
вполне
смешанных
стратегиях
игрока
2
совпадают
с
поведением
игрока
2
в
матричной
игре
с
матрицей
выигрыша
А
,
а
поведение
игрока
1 –
с
поведением
игрока
1
в
матричной
игре
с
матрицей
выигрышей
В
.
Таким
образом
,
описанное
равновесное
поведение
игроков
оказывается
ориентированным
не
столько
на
максимализацию
собственного
выигрыша
,
сколько
на
минимизацию
выигрыша
противника
.
Так
, “
антагонизм
поведения
”
может
возникнуть
и
при
отсутствии
“
антагонизма
интересов
”.
В
приведенном
на
рис
. 5.3
решении
игры
три
ситуации
равновесия
,
соответствуют
точкам
R
1
, R
2
, R
3
.
Если
бы
зигзаги
приемлемых
ситуаций
были
одинаковой
ориентации
,
как
показано
на
рис
. 5.4,
то
пересечение
приемлемых
ситуаций
игрока
1
и
игрока
2
состояло
бы
из
одной
точки
R.
Рис
. 5.4.
q
1
R
1
p
q
1
R
3
R
1
R
2
1
p
80
При
решении
биматричных
игр
большей
размерности
необходимо
решать
большую
систему
линейных
неравенств
,
определяемых
выражениями
(5.6), (5.7)
и
(5.8), (5.9),
а
затем
таким
же
конечно
-
рациональным
путем
находить
точки
пересечения
приемлемых
ситуаций
игрока
1
и
игрока
2.
Причем
,
любая
конечная
бескоалиционная
игра
имеет
конечное
и
нечетное
чисто
ситуаций
равновесия
(
решений
игры
).
Поиск
ситуаций
равновесия
в
этом
случае
следует
осуществлять
с
применением
ПЭВМ
.
5.5.
Пример
решения
биматричной
игры
Формулировка
игры
“
Борьба
за
рынки
”
Небольшая
фирма
(
игрок
1)
намерена
сбыть
крупную
партию
товара
на
одном
из
двух
рынков
,
контролируемых
другой
,
более
крупной
фирмой
(
игрок
2).
Для
этого
оно
может
предпринять
на
одном
из
рынков
соответствующие
действия
(
например
,
развернуть
рекламную
кампанию
).
Господствующий
на
рынках
игрок
2
может
попытаться
воспрепятствовать
этому
,
предприняв
на
одном
из
двух
рынков
предупредительные
меры
.
Игрок
1,
не
встретивший
на
рынке
препятствий
,
захватывает
его
;
встретившись
с
сопротивлением
–
терпит
поражение
.
Выборы
фирмами
рынков
являются
их
чистыми
стратегиями
.
Пусть
проникновение
игрока
1
на
первый
рынок
более
выгодно
для
него
,
чем
проникновение
на
второй
,
но
борьба
за
первый
рынок
требует
больших
средств
.
Например
,
победа
игрока
1
на
первом
рынке
принесет
ему
вдвое
больший
выигрыш
,
чем
на
втором
,
но
зато
поражение
на
первом
рынке
полностью
его
разоряет
(
проигрыш
равен
10),
а
игрока
2
избавляет
от
конкурента
(
выигрыш
равен
5).
Описанная
биматричная
игра
может
быть
задана
матрицами
выигрышей
А
10
2
1
1
,
.
1
1
2
5
B
Решение
игры
.
В
соответствии
с
выражениями
(5.6)
и
(5.7)
приемлемыми
ситуациями
для
игрока
1
будут
те
,
которые
удовлетворяют
условиям
.
1
1
1
2
10
1
,
1
1
,
1
;
1
1
1
2
10
1
,
1
2
,
10
q
q
p
p
q
q
q
q
p
p
q
q
Рассмотрим
три
случая
:
а
)
р
=1 (X=|1, 0|).
В
соответствии
с
выражением
(5.10)
имеем
1 1
1
10 2
1
,
,
.
q
q
q
q
,
откуда
q
3
14
.
б
)
р
= 0 (X=|0, 1|).
В
соответствии
с
выражением
(5.11)
имеем
10 2
1
1 1
1
,
,
,
q
q
q
q
или
q
3
14
.