Материал: Теория_игр_УП_ЭК_ЭлРесурс
6
пределы
известных
противнику
стратегий
, “
ошарашивание
”
его
чем
-
то
совершенно
новым
,
непредвиденным
[1].
Теория
игр
не
включает
элементов
риска
,
неизбежно
сопровождающего
разумные
решения
в
реальных
конфликтах
.
Она
определяет
наиболее
осторожное
, “
перестраховочное
”
поведение
участников
конфликта
.
Кроме
того
,
в
теории
игр
находятся
оптимальные
стратегии
по
одному
показателю
(
критерию
).
В
практических
ситуациях
часто
приходится
принимать
во
внимание
не
один
,
а
несколько
числовых
критериев
.
Стратегия
,
оптимальная
по
одному
показателю
,
может
быть
неоптимальной
по
другим
.
Сознавая
эти
ограничения
и
потому
,
не
придерживаясь
слепо
рекомендаций
,
даваемых
теорий
игр
,
можно
все
же
выработать
вполне
приемлемую
стратегию
для
многих
реальных
конфликтных
ситуаций
.
В
настоящее
время
ведутся
научные
исследования
,
направленные
на
расширение
областей
применения
теории
игр
.
1.2.
Терминология
и
классификация
игр
В
теории
игр
предполагается
,
что
игра
состоит
из
ходов
,
выполняемых
игроками
одновременно
или
последовательно
.
Ходы
бывают
личными
и
случайными
.
Ход
называется
личным
,
если
игрок
сознательно
выбирает
его
из
совокупности
возможных
вариантов
действий
и
осуществляет
его
(
например
,
любой
ход
в
шахматной
игре
).
Ход
называется
случайным
,
если
его
выбор
производится
не
игроком
,
а
каким
-
либо
механизмом
случайного
выбора
(
например
,
по
результатам
бросания
монеты
).
Совокупность
ходов
,
предпринятых
игроками
от
начала
до
окончания
игры
,
называется
партией
.
Одним
из
основных
понятий
теории
игр
является
понятие
стратегии
.
Стратегией
игрока
называется
совокупность
правил
,
определяющих
выбор
варианта
действий
при
каждом
личном
ходе
в
зависимости
от
ситуации
,
сложившейся
в
процессе
игры
.
В
простых
(
одноходовых
)
играх
,
когда
в
каждой
партии
игрок
может
сделать
лишь
по
одному
ходу
,
понятие
стратегии
и
возможного
варианта
действий
совпадают
.
В
этом
случае
совокупность
стратегий
игрока
охватывает
все
возможные
его
действия
,
а
любое
возможное
для
игрока
i
действие
является
его
стратегией
.
В
сложных
(
многоходовых
играх
)
понятие
«
варианта
возможных
действий
»
и
«
стратегии
»
может
отличаться
друг
от
друга
.
Стратегия
игрока
называется
оптимальной
,
если
она
обеспечивает
данному
игроку
при
многократном
повторении
игры
максимально
возможный
средний
выигрыш
или
минимально
возможный
средний
проигрыш
,
независимо
от
того
,
какие
стратегии
применяет
противник
.
Могут
быть
использованы
и
другие
критерии
оптимальности
.
Возможно
,
что
стратегия
,
обеспечивающая
максимальный
выигрыш
,
не
обладает
другим
важным
представлением
оптимальности
,
как
устойчивостью
(
равновесностью
)
решения
.
Решение
игры
является
7
устойчивым
(
равновесным
),
если
соответствующие
этому
решению
стратегии
образуют
ситуацию
,
которую
ни
один
из
игроков
не
заинтересован
изменить
.
Повторим
,
что
задача
теории
игр
–
нахождение
оптимальных
стратегий
.
Классификация
игр
представлена
на
рис
. 1.1.
1.
В
зависимости
от
видов
ходов
игры
подразделяются
на
стратегические
и
азартные
.
Азартные
игры
состоят
только
из
случайных
ходов
–
ими
теория
игр
не
занимается
.
Если
наряду
со
случайными
ходами
есть
личные
ходы
,
или
все
ходы
личные
,
то
такие
игры
называются
стратегическими
.
2.
В
зависимости
от
числа
участников
игры
подразделяются
на
парные
и
множественные
.
В
парной
игре
число
участников
равно
двум
,
в
множественной
–
более
двух
.
3.
Участники
множественной
игры
могут
образовывать
коалиции
,
как
постоянные
,
так
и
временные
.
По
характеру
взаимоотношений
игроков
игры
делятся
на
бескоалиционные
,
коалиционные
и
кооперативные
.
Бескоалиционными
называются
игры
,
в
которых
игроки
не
имеют
право
вступать
в
соглашения
,
образовывать
коалиции
,
и
целью
каждого
игрока
является
получение
по
возможности
наибольшего
индивидуального
выигрыша
.
Игры
,
в
которых
действия
игроков
направлены
на
максимизацию
выигрышей
коллективов
(
коалиций
)
без
последующего
их
разделения
между
игроками
,
называются
коалиционными
.
Исходом
кооперативной
игры
является
дележ
выигрыша
коалиции
,
который
возникает
не
как
следствие
тех
или
иных
действий
игроков
,
а
как
результат
их
наперед
определенных
соглашений
.
В
соответствии
с
этим
в
кооперативных
играх
сравниваются
по
предпочтительности
не
ситуации
,
как
это
имеет
место
в
бескоалиционных
играх
,
а
дележи
;
и
сравнение
это
не
ограничивается
рассмотрением
индивидуальных
выигрышей
,
а
носит
более
сложный
характер
.
4.
По
количеству
стратегий
каждого
игрока
игры
подразделяются
на
конечные
(
число
стратегий
каждого
игрока
конечно
)
и
бесконечные
(
множество
стратегий
каждого
игрока
бесконечно
).
5.
По
количеству
информации
,
имеющейся
у
игроков
относительно
прошлых
ходов
,
игры
подразделяются
на
игры
с
полной
информацией
(
имеется
вся
информация
о
предыдущих
ходах
)
и
неполной
информацией
.
Примерами
игр
с
полной
информацией
могут
быть
шахматы
,
шашки
и
т
.
п
.
8
Стратегические
Азартные
1.
В
зависимости
от
вида
ходов
П арны е
М нож ественны е
2.
В
зависим ости
от
числа
и гроков
Бескоалиционные
Коалиционные
3.
По
характеру
взаимоотношений
Кооперативные
Конечные
Бесконечные
4.
По
количеству
стратегий
Игры
с
полной
информацией
5.
По
количеству
информации
Игры
с
неполной
информацией
Позиционные
Игры
в
нормальной
форме
6.
По
виду
описания
игры
Игры
с
нулевой
суммой
Игры
с
ненулевой
суммой
7.
По
сумме
выигрышей
всех
игроков
N
i
i
f
1
0
Рис
. 1.1.
Классификация
игр
6.
По
виду
описания
игры
подразделяются
на
позиционные
игры
(
или
игры
в
развернутой
форме
)
и
игры
в
нормальной
форме
.
Позиционные
игры
задаются
в
виде
дерева
игры
.
Но
любая
позиционная
игра
может
быть
сведена
к
нормальной
форме
,
в
которой
каждый
из
игроков
делает
только
по
одному
независимому
ходу
.
В
позиционных
играх
ходы
делаются
в
дискретные
моменты
времени
.
Существуют
дифференциальные
игры
,
в
которых
ходы
делаются
непрерывно
.
Эти
игры
изучают
задачи
преследования
управляемого
объекта
другим
9
управляемым
объектом
с
учетом
динамики
их
поведения
,
которая
описывается
дифференциальными
уравнениями
.
Существуют
также
рефлексивные
игры
,
которые
рассматривают
ситуации
с
учетом
мысленного
воспроизведения
возможного
образа
действий
и
поведения
противника
.
7.
Если
любая
возможная
партия
некоторой
игры
имеет
нулевую
сумму
выигрышей
f
i
,
N
i
,
1
всех
N
игроков
(
0
1
N
i
i
f
),
то
говорят
об
игре
с
нулевой
суммой
.
В
противном
случае
игры
называются
играми
с
ненулевой
суммой
.
Очевидно
,
что
парная
игра
с
нулевой
суммой
является
антагонистической
,
так
как
выигрыш
одного
игрока
равен
проигрышу
второго
,
а
следовательно
цели
этих
игроков
прямо
противоположны
.
Конечная
парная
игра
с
нулевой
суммой
называется
матричной
игрой
.
Такая
игра
описывается
платежной
матрицей
,
в
которой
задаются
выигрыши
первого
игрока
.
Номер
строки
матрицы
соответствует
номеру
применяемой
стратегии
первого
игрока
,
столбец
–
номеру
применяемой
стратегии
второго
игрока
;
на
пересечении
строки
и
столбца
находится
соответствующий
выигрыш
первого
игрока
(
проигрыш
второго
игрока
).
Конечная
парная
игра
с
ненулевой
суммой
называется
биматричной
игрой
.
Такая
игра
описывается
двумя
платежными
матрицами
,
каждая
для
соответствующего
игрока
.
1.3.
Примеры
игр
Игра
1.
Зачет
Пусть
игрок
1 –
студент
,
готовящийся
к
зачету
,
а
игрок
2 –
преподаватель
,
принимающий
зачет
.
Будем
считать
,
что
у
студента
две
стратегии
:
А
1
-
хорошо
подготовиться
к
зачету
;
А
2
–
не
подготовиться
.
У
преподавателя
имеется
тоже
две
стратегии
:
В
1
–
поставить
зачет
;
В
2
–
не
поставить
зачет
.
В
основу
оценки
значений
выигрышей
игроков
можно
положить
,
например
,
следующие
соображения
,
отраженные
в
матрицах
выигрышей
В
1
В
2
В
1
В
2
А
1
+ (5)
(
оценили
по
заслугам
)
- (-6)
(
обидно
)
А
1
+ (0)
(
все
нормально
)
- (-3)
(
проявил
несправедли
-
вость
)
А
2
(1)
(
удалось
словчить
)
(0)
(
получил
по
заслугам
)
А
2
- 2
(
дал
себя
обмануть
)
- 1
(
студент
придет
еще
раз
)
Выигрыши
студента
Выигрыши
преподавателя
Данная
игра
в
соответствии
с
приведенной
выше
классификацией
является
стратегической
,
парной
,
бескоалиционной
,
конечной
,
описана
в
10
нормальной
форме
,
с
ненулевой
суммой
.
Более
кратко
данную
игру
можно
назвать
биматричной
.
Задача
состоит
в
определении
оптимальных
стратегий
для
студента
и
для
преподавателя
.
Игра
2.
Морра
Игрой
“
морра
”
называется
игра
любого
числа
лиц
,
в
которой
все
игроки
одновременно
показывают
(“
выбрасывают
”)
некоторое
число
пальцев
.
Каждой
ситуации
приписываются
выигрыши
,
которые
игроки
в
условиях
этой
ситуации
получают
из
“
банка
”.
Например
,
каждый
игрок
выигрывает
показанное
им
число
пальцев
,
если
все
остальные
игроки
показали
другое
число
;
он
ничего
не
выигрывает
во
все
остальных
случаях
.
В
соответствии
с
приведенной
классификацией
данная
игра
является
стратегической
;
в
общем
случае
,
множественной
(
в
этом
случае
игра
может
быть
бескоалиционной
,
коалиционной
,
и
кооперативной
)
конечной
.
В
частном
случае
,
когда
игра
парная
–
это
будет
матричная
игра
(
матричная
игра
всегда
является
антагонистической
).
Пусть
два
игрока
«
выбрасывают
»
одновременно
один
,
два
или
три
пальца
.
При
четной
сумме
выигрывает
первый
игрок
,
при
нечетной
–
второй
.
Выигрыш
равен
сумме
«
выброшенных
пальцев
».
Таким
образом
,
в
данном
случае
каждый
из
игроков
имеет
по
три
стратегии
,
а
матрица
выигрышей
первого
игрока
(
проигрышей
второго
)
имеет
вид
:
В
1
В
2
В
3
А
1
2 -3 4
А
2
-3 4 -5
А
3
4 -5 6
где
А
i
–
стратегия
первого
игрока
,
заключающаяся
в
«
выбрасывании
»
i
пальцев
;
В
j
–
стратегия
второго
игрока
,
заключающаяся
в
«
выбрасывании
»
j
пальцев
.
Что
должен
делать
каждый
из
игроков
,
чтобы
обеспечить
себе
максимальный
выигрыш
?
Игра
3.
Борьба
за
рынки
Некая
фирма
А
,
имея
в
своем
распоряжении
5
условных
денежных
единиц
,
пытается
удержать
два
равноценных
рынка
сбыта
.
Ее
конкурент
(
фирма
В
),
имея
сумму
равную
4
условным
денежным
единицам
,
пытается
вытеснить
фирму
А
с
одного
из
рынков
.
Каждый
из
конкурентов
для
защиты
и
завоевания
соответствующего
рынка
может
выделить
целое
число
единиц
своих
средств
.
Считается
,
что
если
для
защиты
хотя
бы
одного
из
рынков
фирма
А
выделит
меньше
средств
,
чем
фирма
В
,
то
она
проигрывает
,
а
во
всех
остальных
случаях
–
выигрывает
.
Пусть
выигрыш
фирмы
А
равен
1,
а
проигрыш
равен
(-1),
тогда
игра
сводится
к
матричной
игре
,
для
которой
матрица
выигрышей
фирмы
А
(
проигрышей
фирмы
В
)
имеет
вид
: