, (3.61)
либо:
,
где l - коэффициент гидравлического сопротивления.
При расчете по этому соотношению при λ = 0,02 получаются значения Vп, близкие к результатам измерений в трубах.
Сопоставление концентраций, определенных по соотношению (3.2), с
измеренными предельными концентрациями в опытах С.Х. Абальянца показывает, что
насыщенность потока наносами, приводящая к структурированию, в опытах Абальянца
не достигалась и в среднем была в 2-3 раза меньше.
Прогнозирование возможности осаждения частиц мелкой взвеси сопоставлением гидравлической крупности w с вертикальной пульсационной составляющей скорости приводит к неверному выводу о том, что осаждение мелкодисперсных частиц в турбулентном речном потоке даже при весьма малых скоростях течения невозможно. Однако исследования гранулометрии донных отложений показывают, что частицы мелкой взвеси составляют значительную долю в общем составе донных отложений, часто превышающую 50% по весу.
Главная особенность процесса осаждения мелкой взвеси связана с тем, что размер частиц этого класса меньше толщины вязкого подслоя dвп. Поэтому на заключительную фазу процесса осаждения определяющее влияние оказывают характеристики течения в пределах вязкого подслоя.
Вторая особенность состоит в том, что турбулентная диффузия перестает играть роль фактора, поддерживающего равновесную концентрацию взвеси, и приобретает роль механизма, поставляющего взвешенные наносы к верхней границе вязкого подслоя, т. е. способствует осаждению.
Третья особенность заключается в проявлении поверхностных когезионных сил, возникающих при сближении мелких оседающих частиц с донным грунтом на расстояние, меньшее dпр = (1ч2)μ. Эти силы сцепления затрудняют повторное взвешивание частиц.
Рассмотрим
схему осаждения частиц мелкой взвеси, предполагая, что турбулентные пульсации
скорости обеспечивают перемешивание частиц мелкой взвеси по всей области
течения (>>W) за исключением вязкого подслоя (рисунок 3.6). При этом
осаждение мелких частиц со скоростью W будет происходить лишь в пределах
вязкого подслоя толщиной dвп. На верхнюю границу подслоя частицы приносятся из
основной толщи потока действием механизма турбулентного обмена. На единицу
площади дна в единицу времени осаждается количество взвеси, равное cw (с -
концентрация взвеси на верхней границе вязкого подслоя). Баланс наносов для
отсека всего потока над единичной площадкой можно представить уравнением:
hdc = - cwdt, (3.62)
где h - глубина потока.
Рисунок 3.6. Схема к расчету осаждения частиц мелкой взвеси.
Решение этого уравнения с учетом начального условия (t = 0, с = с0)
запишется в виде:
. (3.63)
Это уравнение показывает, что осаждение происходит более интенсивно в
зонах потока с меньшей глубиной, что соответствует данным натурных измерений,
указывающим на то, что в прибрежных зонах накопление наносов происходит более
интенсивно. Рассматривая процесс осаждения мелкой взвеси на участке водотока
ниже створа с начальной концентрацией взвеси с0 и принимая остаточное
содержание мелкой взвеси с = 0,05с0, найдем из полученного соотношения, что
соответствующее значение wt/h = 3. Отсюда время осаждения мелкой взвеси равно
Т0 = 3h/w. Расстояние, на котором происходит осаждение мелкой взвеси, равно L0
= T0V, или:
. (3.64)
Выражая V через u* и λ, получаем:
. (3.65)
При
среднем значении = 0,2 имеем:
. (3.66)
Так, например, для частиц крупностью d = 0,01 мм в потоке глубиной h = 3 м и скоростью u = 0,1 м/с время осаждения равно 105 с, а расстояние, на котором происходит осаждение, составляет 10 км. Натурные исследования, выполненные лабораторией охраны водной среды МГСУ на реках Волге, Оке, Москве и других, показали, что загрязненность русла ниже города, поверхностный сток которого вносит в реку значительное количество загрязненных мелких взвесей, прослеживается на расстоянии 10-15 км ниже города.
На процесс осаждения мелкой взвеси может оказывать влияние нестационарность вязкого подслоя. Мощные восходящие токи, возникающие при разрушении вязкого подслоя, препятствуют падению частиц в этих зонах. Однако условие неразрывности пульсационного движения определяет поступление в зону выброса масс жидкости, насыщенных взвесью, которая, казалось бы, должна снова вноситься в поток восходящими токами. Однако часть мелкой взвеси может осаждаться и в зоне восходящих токов вследствие проявления когезионных сил между частицами взвеси и частицами донного грунта при их сближении на расстояние z < dпр. Таким образом, придонный слой dпр может активно поглощать из потока мелкие частицы, приближающиеся ко дну ближе, чем на 2μ.
Интенсивность осаждения частиц в рассматриваемых областях дна
определяется, главным образом, интенсивностью поступления частиц в эти области,
т. е. "поглощение" происходит достаточно быстро. Оценку осаждения
взвеси в зоне восходящих токов произведем, предполагая, что условие
неразрывности пульсационного движения обеспечивается действием как продольных,
так и поперечных пульсаций скорости, создающих пульсационное течение,
компенсирующее "выброс" жидкости из придонной области при разрушении
вязкого подслоя. Учитывая это, примем для оценки средний стандарт пульсаций u′
= u*. Поскольку продольный размер зоны взмыва близок к макромасштабу
вертикальных пульсаций, близкому к h/2, время восстановления мутности в зоне
взмыва будет равно:
tр
= .
Предполагая, что турбулентный массообмен между слоями потока
осуществляется в основном крупными вихревыми структурами, сравним время
восстановления мутности с периодом цепочки крупных вихрей Тс, определяемым по
Гришанину в виде:
Тс
= ,
тогда:
. (3.66)
При среднем значении λ, близком к 0,03, отношение t/Тс ≈
1. Это означает, что за полный период смены турбулентной "обстановки"
на рассматриваемом участке произойдет лишь однократное осаждение взвеси из слоя
dпр = 2μ. Если диаметр частиц взвеси d > 2μ,
осаждение произойдет из
слоя, равного диаметру частиц d. В этом случае интенсивность осаждения взвеси в
зоне восходящих токов и разрушенного вязкого подслоя равна cd/Тс (с -
концентрация взвеси в потоке). Так как в зоне существования вязкого подслоя
интенсивность осаждения взвеси cw, то соотношение интенсивностей осаждения
взвеси в рассматриваемых двух зонах оказывается следующим:
. (3.67)
Это соотношение показывает, что при среднем значении λ = 0,03ч0,04, w ≈ u* и h/d
>> 10 осаждение взвеси на участке восходящих токов можно не учитывать и корректировку
приведенного расчета осаждения взвеси можно не производить.
В тех случаях, когда в водный объект поступает большое количество мелкодисперсных наносов техногенного происхождения, либо образовавшихся, например, за счет эрозии почв, стока с городской территории и т. п., поведение их в водоеме может иметь существенные отличия от поведения наносов естественного происхождения.
Одно из важнейших отличительных свойств внерусловых наносов заключается в том, что они поступают в поток извне, и на их размыв поток не должен затрачивать никакой дополнительной энергии. В этих условиях, согласно данным Н.А. Михайловой, поток может обладать значительно большей транспортирующей способностью. Эти особенности внерусловых наносов могут в некоторых случаях привести к возникновению стратификации (расслоения) в придонной части. При малых скоростях течения и невысоком уровне турбулентности наносы будут сосредотачиваться в ограниченной по вертикали области потока вблизи дна, тогда как содержание наносов в поверхностных слоях будет минимальным. При достаточно высокой концентрации взвешенные наносы, в свою очередь, будут воздействовать на турбулентные характеристики потока, уровень турбулентности начнет снижаться, произойдет дальнейшее увеличение местной концентрации наносов. Таким образом, этот процесс в конечном итоге приведет к образованию малоподвижного слоя жидкости повышенной плотности, отделенного от основного потока границей раздела, т. е. произойдет расслоение потока.
Таким образом, важной физической особенностью потоков, несущих мелкую взвесь, является их стратификация с образованием границы раздела и возникновение так называемого придонного мутьевого слоя.
Именно в придонном мутьевом слое мелкодисперсная взвесь техногенного происхождения в течение длительных периодов времени взаимодействует с водой, отдавая ей в большей или меньшей степени примеси, в том числе тяжелых металлов, адсорбированные на поверхности мелких частиц. Именно в придонном мутьевом слое завершаются седиментационные процессы, приводящие к загрязнению и деградации водоема. В пределах придонного мутьевого слоя оказывается зона активного потребления кислорода, извлекаемого из воды. Здесь же размещается и кормовая база и зона преобладающего существования рыбы и других гидробионтов, которая оказывается в большей мере, чем основной поток, насыщена твердыми частицами и диффундирующими в водную массу вредными загрязняющими примесями. В связи с этим для предотвращения экологической деградации и поддержания водотока в устойчивом экологическом состоянии необходимо удалять придонный мутьевой слой, что требует анализа гидравлических условий, позволяющих это выполнить.
Используя подход, развитый Ф.Г. Майрановским, рассмотрим плотностной
(стратифицированный) поток, состоящий из двух жидкостей разной плотности с
границей раздела между ними. Условие устойчивости такого потока может быть
получено из уравнения баланса энергии:
, (3.68)
где:
- скорость изменения кинетической энергии турбулентности;
- количество работы, переходящей в кинетическую энергию
турбулентных пульсаций (диссипативный член);
- работа сил плавучести;
s - коэффициент, учитывающий диффузию турбулентной энергии (согласно экспериментам Вебстлера, s ≈ 0,3).
Из уравнения (3.68) непосредственно следует, что:
. (3.69)
Таким
образом, течение устойчиво, то есть возмущение на поверхности раздела не
возрастает со временем ( < 0), если:
, (3.70)
где Ri = - число Ричардсона.
Число Ричардсона можно связать с так называемым плотностным числом Фруда, что может быть выполнено, однако, только при известном распределении скоростей и плотностей в придонном мутьевом слое.
Согласно оценкам Ричардсона и Прандтля, турбулентность должна затухать при значении числа Ri = < 1; впоследствии Дж. Тейлор получил в качестве предела устойчивости условие Ri ≤ Pr, где Pr - турбулентное число Прандтля, равное отношению коэффициентов турбулентной вязкости и турбулентной диффузии. В отличие от однородной жидкости, где Pr постоянно и равно примерно 0,7, в стратифицированном потоке Pr является функцией числа Ричардсона.
Различными исследователями приводятся другие числовые значения критического числа Ричардсона. Дж. Тейлор и С. Гольдштейн, впервые применившие для расчета устойчивости плотностного потока метод малых возмущений, получили в качестве предела устойчивости Ri = 1/4.
Основываясь на теории пограничного слоя Толлмина и принимая профиль скорости Блазиуса, Г. Шлихтинг получил, что при Ri ≥ 1/24 пограничный слой с расслоением плотности остается устойчивым, причем градиент скорости, входящий в Ri, берется у стенки.
Т. Эллисон и Дж. Тернер провели изучение движения плотностного потока в наклонной трубе; исходя из условия, что при Ri > Riкр перемешивание между обеими жидкостями ничтожно, было найдено экспериментально:
кр
= ,
где:
Н - общая глубина жидкости в трубе;
a - угол наклона трубы к горизонту.
В результате обработки экспериментов по моделированию плотностных потоков
К.Я. Кинд определила устойчивость поверхности раздела двух жидкостей:
Fr
= .
Анализ критериев устойчивости, предлагаемых различными авторами, показывает, что все они содержат либо число Ричардсона, либо плотностное число Фруда.
Необходимо отметить, что критерий устойчивости в последней форме удовлетворяет опытным данным по устойчивости плотностного потока с химической и температурной стратификацией. Однако до настоящего времени остается невыясненным вопрос о количественном совпадении условий устойчивости плотностного потока при механической и др. стратификациях. Как показывают специальные исследования, некоторое влияние на значение критерия устойчивости может оказать вязкость более тяжелого слоя. При одной и той же относительной разности плотностей ∆r/r течение тем более устойчиво, чем больше разность вязкостей обоих слоев. Как показывают данные экспериментов Кейлегана, даже при изменении вязкости нижнего слоя на 30% скорость начала перемешивания между слоями меняется всего на 10%. Таким образом, хотя и имеются некоторые данные, показывающие возможность замены одного вида стратификации другим, необходимо дальнейшее исследование для выявления погрешностей, связанных с такой заменой.
Устойчивость стратифицированного потока на наклонной плоскости рассматривалась в работе Т.В. Као. В результате численного решения уравнения Навье-Стокса были получены выражения для критической глубины двухслойного потока и параметра относительной устойчивости, равного отношению критической глубины двухслойного потока к критической глубине однородного потока при одном и том же уклоне.
Многие авторы связывают критерии устойчивости с характеристиками
волнового движения на границе раздела двух сред; Л.Ж. Тисон, в частности,
записывает этот критерий стабильности в виде:
, (3.71)
где: λ - длина волны на поверхности раздела.
Неустойчивость при движении обоих слоев в одном направлении со скоростями
u1 и u2 по Ламбу соответствует условию:
. (3.72)
Анализ устойчивости границы раздела с использованием метода малых возмущений позволяет в качестве критерия устойчивости принять число Ричардсона или плотностное число Фруда:
,
где:
∆r = rсм - r - разность между плотностью потока, несущего взвесь, и плотностью чистой воды;
hв - масштаб возмущений на границе раздела;- скорость обтекания "внешним" потоком границы раздела;
С - константа.
В связи с отсутствием общепринятого подхода к решению вопроса об устойчивости плотностного потока предлагается следующая физическая модель, позволяющая количественно определить условие устойчивости границы раздела мутьевого слоя с основным потоком и предельную насыщенность потока мелкой взвесью.
При рассмотрении стратифицированных течений в водоемах масштаб возмущений hв обычно отождествляют с глубиной h, в качестве скорости V0 принимают среднюю скорость потока V. В связи с произвольностью этих допущений критическое значение числа Ричардсона оказывается непостоянным, а изменяется в достаточно широких пределах.
При рассмотрении мутьевого слоя, медленно движущегося вблизи дна,
источником возмущений границы раздела является турбулентность. Как известно,
масштаб этих возмущений пропорционален глубине потока. Если в качестве
источника возмущений рассматривать пульсацию давления на границе раздела,
вызывающую ее искажение и местный подъем на некоторую высоту (рисунок 3.7),
условие предельного равновесия границы раздела можно записать в виде:
р′ = (rсм
- r)g hв = ∆rg hв.
Учитывая, что вертикальные пульсационные перемещения "ощущают"
присутствие границы на расстоянии 0,2h от нее, примем hв = 0,2h. Поскольку
стратификация возникает вблизи дна, в качестве возмущающего импульса примем максимум
пульсаций донного давления, равный утроенному значению стандарта:
р′
= 3(3r) = 9r.Рисунок 3.7 Схема к расчету
устойчивости границы раздела; 1 - придонный мутьевой слой; 2 - слой чистой
воды; 3 - граница раздела;
4 - изменение плотности.
Тогда
условие существования границы раздела запишется в виде:
.
Из
этого условия может быть найдено предельное значение ∆r/r, приводящее к возникновению стратификации и
образованию придонного мутьевого слоя: