Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

X

0 C 0

1

3

4

2

n

2

3

3

,

n,

;

X

C sin

0

2

n

9

2

2

2

X

x sin

2 n

x, n N.

n

3

Каждому собственному значению

n

соответствует функция

Tn t ,

которую

находим

из

решения

уравнения

2

n

2

2

n

2

Tn t

0

или

Tn t

0.

Общее ре-

4Tn t

9

Tn t

36

шение

этого

уравнения

имеет

вид

Tn t an cos

n

t

bn sin

n

t,

где

an

и

bn – произвольные по-

6

6

3

3

2 n

2 n

2 2

3

4

3

2 3

2

an

x x

sin

xdx

x x

d cos

x

3

0

2

3

3

2 n 0 2

3

2

3

2

3

2

2 n

3

2 n

x x

3

2

cos

x

0

2x cos

xdx

2

n

2

3

0

2

3

3

3

3

2 n

2

2

2

2x

d

sin

x

n

2

3

0

3

3

3

2 n

2 n

3

2

2

2

2x

sin

x

0

2 sin

xdx

2

n

2

3

0

3

9

2 n

9

cos

x

3

1

n

1

;

2

3

3

n

3

3

0

3

n

b

0, b

18

, k N.

2k 1

3

2k

2k 1

3

18

2k 1

2 2k 1

u x, t

cos

t sin

x.

3

2k 1

3

6

3

k 0

u

x 0

0, u

x l

0, t 0.

85

Рассматривая в искомом решении

u x, t

этой задачи

ющих граничным условиям

85 .

Тогда

nx

u x, t

n

t sin

86

V

l

,

n 1

здесь коэффициенты

Vn t

надо находить в виде функции

времени t при условии, что ряд

86

является решением

уравнения 83 и удовлетворяет начальным данным

84 . С

этой целью разложим функции

f

x, t ,

x

и x

в такие

ряды Фурье:

nx

2

l

n

f x, t fn t sin

a

2

, fn

t

f

, t sin

d ;

l

l

l

n 1

0

nx

2

l

n

x n sin

, n

sin

d ;

87

l

l

l

n 1

0

x

sin nx

,

2

l

sin n d .

n

l

n

l

l

n 1

0

После подставки рядов

86

и

87

в уравнение 83 и

начальные данные 84 , будем иметь такие выражения:

na

2

nx

nx

Vn t

Vn

t sin

fn t sin

;

l

l

l

n 1

n 1

63

na 2

t ;

89

Vn t

Vn t fn

n

l

n

n

90

n

V

0

, V

0

.

Общее решение уравнения

89

возможно определить,

Тогда, подставив найденное выражение для

Vn t

в ряд

86 ,

получим решение исходной задачи

83

–

85

в сле-

дующей форме:

na

l

na

nx

u x, t n

cos

l

t

na

n sin

l

t

sin

l

n 1

l

t

na

t

nx .

fn sin

d sin

92

n 1

na 0

l

l

64

ную функцию

W x, t

с условием, что для неѐ выполняются

условия 95 ,

что равносильно

W

x 0

t ,

W x l

t .

В

роли одной из этих функций можно взять

W

x, t

t

x

t

t

, 0 x l.

l

Производя замену u x, t W x, t v x, t

для новой иско-

мой функции

v x, t

будет иметь место такая краевая задача:

v

v

2

2

x, t , t 0, 0 x l;

a

2

f

96

2

2

t

x

1

v

t 0

x

,

v

t 0