Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

первая из которых зависит только от аргумента

а вторая –

только от t.

Находя вторые производные от соотношения

68 по x

и по t, в результате подстановки их в уравнение

полу-

чим

X x T

t X x T t ,

x T

t X x T t ,

X x T t a

X x T t ,

или

1 T t

X x

T t

X x

Соотношение

должно

выполняться

при

любых

x 0, l и t

0. Отличительная

черта соотношения 69 –

возможность разделения переменных, то есть левая часть этого равенства зависит только от t, а правая – только от x. То-

гда, при условии, к примеру, фиксации

правая часть, а,

следовательно, и левая обязаны сохранять постоянное значение при любых значениях t. Точно также левая часть, а вме-

сте с ней и правая часть соотношения при фиксации

долж-

ны сохраняться при изменении x. Отсюда следует, что соотношение 69 выполнимо только тогда, когда обе его части не зависят ни от x, ни от t, то есть являются постоянной ве-

личиной. Придав данной константе разделения символ					со
знаком минус, запишем 69 в форме
	1 T t		X x
				.	70
	a2	T t	X x	.	70
			51

Следовательно, функции

T t

X x

представляется

возможным найти, решая обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

	T t a2T t 0; X x X x 0.
	С целью выполнения для частных решений в форме
68	граничных условий 67	для всякого t 0 должны удо-
влетворяться условия X 0 0		и X l 0.
	Тогда для нахождения координатной функции X x

нужно решить такую задачу: дифференциальное уравнение

X x X x

решить линейное однородное

0, 0 x l,	71

для которого на границах

X 0

x 0 и

0, X l

x l0.

выполняются условия

Для каждого ненулевое решение

const

X x 0.

для данной задачи существует Однако, для некоторых значе-

ний константы 0	для задачи 71 ,	72 существуют и
ненулевые решения.	Данные значения		именуются соб-

ственными значениями, а отвечающие им ненулевые решения

X x – собственными функциями задачи 71 , 72 . Задача

определения собственных значений и собственных функций именуется задачей Штурма-Лиувилля.

Рассматривая снова задачу 71 и 72 , исследуем все

варианты, когда константа разделяющая постоянная нулевая, меньше нуля или больше нуля.

В случае

общее решение уравнения

пред-

ставляет собой линейную функцию X торой оба условия 72 выполняются

x C1x C2 ,

для ко-

только тогда, когда

C172

C2 0. Следовательно, в случае 0 для задачи
существует лишь нулевое решение X x 0.
В случае 0 то общее решение уравнения	71

71 ,

X x C e		x
X x C e
1

при подстановке в граничные данные ма

C e	x
C e
2
72	получается систе-

C C

C e

Поскольку детерминант данной однородной системы

D e

l e l

e l

для

каждого

0 отличен от нуля,

она имеет только одно

решение C1

C2 0.

Таким образом,

для задачи 71 ,

не существует отрицательных собственных чисел.

При

общее

решения

уравнения

X x C1 cos

x C2 sin

x может удовлетворить гранич-

ным условиям

0 C 0;

l C cos

l C sin

l 0

при

C1 0,

но C2 C 0, если определитель системы

D sin

l 0,

что выполняется

образом, только для собственных

n 2 , n n

при

чисел

l n, n N.

Таким

задача	71 ,	72		имеет в роли ненулевых решений семей-
ство собственных функций
		X		x sin	nx		, n N,
		X	n	x sin	l		, n N,			75
					l


ортогональных на промежутке 0, l .
Любому		собственному				числу		n отвечает	функция
Tn t ,	определяемая					из		решения	уравнения

	n			2
	n				2		t
T t					a T		t
n		l			n
		l
форме
			T		t	a
				n			n

0.	Его общее решение записывается в

cos	na	t b sin	na	t,	76


	l	n	l

здесь

an и bn – произвольные константы.
После подстановки соотношений 75	и 76 в выра-

жение

68 ,

определим частные решения

уравнения

65 ,

для которых выполняются граничные данные

67 .

Тогда

любому n N соответствует решение

x, t

cos

b sin

sin

Наложение всех решений в форме

u x, t

a cos

t b sin

sin

n 1

тоже есть решение уравнения 65 , для которого выполняются граничные данные 67 , в этом случае представляется возможным подыскать константы an и bn в уравнении 78 при условии выполнения для функции в виде ряда 78

начальных данных

66 .

С этой целью продифференцируем

почленно ряд

по t :

a sin

t b

cos

sin

n 1

и для t 0

потребуем выполнения начальных данных

x , 0 x l;

t 0

sin

n 1

b sin

x , 0 x

t 0

n 1

Соотношения

есть разложение исходных функций

и x

в ряды Фурье по ортогональной в промежутке

x0, l


системе тригонометрических функций		nx		Тогда
системе тригонометрических функций	sin		.	Тогда
		l	n 1

коэффициенты an	и	na		bn	данных разложений есть коэф-
			l

фициенты Фурье	n	и	n		функций x и x . Находя

данные коэффициенты с использованием формул ЭйлераФурье, имеем

x sin

dx;

x sin

dx.

Следовательно,

ряд

с коэффициентами

bn ,

определѐнными по выражениям краевой задачи 65 – 67 .

80 ,

даѐт решение заданной

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27