Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Следовательно, первая краевая задача для неоднородного уравнения в общей постановке сведена к изученной ранее задаче вида 83 – 85 о вынужденных колебаниях ограниченной струны с зафиксированными концами.

3.4. Одномерное уравнение теплопроводности

Явление переноса теплоты от более нагретых мест тела к менее нагретым обусловлен изменением температуры u в разных местах тела. Таким образом, рассмотрение данного явления в макроскопической теории, вообще говоря, трансформируется к нахождению нестационарного температурного поля в теле.

Изучим одномерный процесс переноса теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала (рис. 8), имея ввиду, что температура u u x, t есть функция

только одного пространственного аргумента x.

Плотность материала, его удельную теплоѐмкость c и коэффициент теплопроводности k, вообще говоря, неоднородной среды примем тоже зависящими лишь от одного пространственного аргумента x.

Описывая математически данное явление, считаем что среда неподвижна, а вариация объѐма материала вследствие вариации температуры является бесконечно малой величиной. Тогда возможно сделать предположение о независимости явления теплопроводности от выполнения механической работы.

В расматриваемом слое материала в качестве некоторой термодинамической системы выделим объѐм V в виде ци-

66

возможным определить, интегрируя объѐмную плотности внутренней энергии x, t по объѐму цилиндра:

Тогда вариация внутренней энергии системы за единицу времени

67

Тепловой поток Q1 сквозь всю замкнутую поверхность

рассматриваемого цилиндра (количество теплоты, выделяемое сквозь данную поверхность за единицу времени), представляется возможным определить интегрированием по поверхности нормальной составляющей плотности теплового

Исходя из физического закона Фурье, при теплопереносе теплопроводностью q kgradu. Поскольку в изучаемом

варианте вектор плотности теплового потока q имеет только

сматриваемого объѐма распространяется только сквозь основания цилиндра, и

Внутри рассматриваемого объѐма из-за прохождения эндоили экзотермических реакций, протекания электрического тока, выделения влаги в пористом материале и иных воздействий предсталяется возможным выделение (поглощение) теплота. При условии, что F x, t интерпретируется как объ-

ѐмную плотность или, другими словами, удельная мощность, тепловых источников, за единицу времени в изучаемом объѐ-

ме выделится F 0 или поглотится F 0 количество теплоты

случае, когда подынтегральная функция нулевая. Следовательно, в рассматриваемом явлении теплопере-

носа локально (в любой точке пространства) обязательно выполнение такого дифференциального выражения:

сто дифференциальное уравнение

69

пературопроводности вешества,

нения в частных производных параболического класса. Они используются в математических интерпретациях явления теплопереноса в неоднородных и однородных телах с одномерным температурным полем. Данные уравнения именуют-

ся уравнениями теплопроводности.

ацию температурного поля в стержне постоянного поперечного сечения, сделанном из неоднородного или однородного вещества при условии, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, площадь поперечного сечения пренебрежимо мала и представляется возможным не принимать во внимание распределение температуры по сечению, предполагая еѐ зависимость лишь от осевой переменной.

Постановка краевых задач.

С целбю использования уравнения теплопроводности для построения математической модели вариации температурного поля в теле, нужно иметь распределение температуры в начальный момент времени, что означает постановку начального условия. Для исследуемого одномерного явления начальное условие

определяется исходной функцией x .

Более, необходимо знать тепловой режим на поверхности тела S, что означает постановку граничных условий в каждой точке поверхности тела в произвольный момент вре-

70