Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ду:

где

Решение 78

можно преобразовать к следующему ви-

u x, t un x, t n cos nt n sin

n 1

;

arctg

Каждое из слагаемых

un x, t в уравнении

описы-

вает движение струны в виде стоячей волны, которая образуется в результате наложения прямой и обратной бегущих волн при отражении их от концов струны. Эти стоячие волны называются простыми тонами или гармониками.

В стоячей волне все частицы струны колеблются с одинаковой частотой

	n	,	a	T		.
	n	,		0		.
				0
n	1	1	l
			l		0
					0

Эти частоты n , n N, называются ми колебаний ограниченной струны.

собственными частота-

Самая низкая частота 1

соответствует основному тону струны, а более высокие частоты, кратные 1 , соответствуют обертонам. Изменяя длину

струны или силу еѐ натяжения T0 , можно изменять частоты колебаний n .

	Для		n -ой стоячей волны точки струны с координатами
xm	ml	, m 0, n, в которых sin		nx	0,
				m		остаются всѐ время
	n			l

неподвижными. Они называются узлами стоячей волны (рис.

7,	тѐмные		точки).	Точки струны с координатами
xm	2m 1 l		, m 1, n,	совершают колебания с максимальной
xm	2	n	, m 1, n,	совершают колебания с максимальной
	2	n
				56

амплитудой, равной n . Такие точки носят название пучностей стоячей волны (рис. 7, светлые точки).

Рис. 7. Стоячие волны

Пример 1. Решить однородное волновое уравнение

, t 0, 0 x 1,

с начальными данными

t 0

x 1 x , 0 x 1,

и однородными граничными данными

x 0

0, u

x l

0, t 0.

Решение.

1. Находим ненулевое решение заданного уравнения в форме произведения двух функций

u x, t X x T t .

Определяя вторые производные этого выражения по x и по

t, в результате подстановки их в заданное уравнение имеем
2u		X x T t X x T t ,
t2	t	X x T t X x T t ,
		57

X x T t X x T t ,

X x T t 4X x T t ,

или

T t

X x

4 T t

X x

Поэтому функции

T t

X x

являются решениями обык-

новенных дифференциальных уравнений T

t 4T t 0;

X x X x 0, X 0 X 1 0.

2. Решаем задачу

x X x 0, X 0 X 1 0.

k 2 0, k 2 , k

1, 2

X x C1 cos

x C2 sin

X 0 C 0

;

X 1 C sin

x sin nx, n N.

Каждому собственному значению n

соответствует функция

Tn t ,

которую

находим

из

решения

уравнения

Tn t 4 2n2Tn t 0. Общее решение данного уравнения за-

писывается в форме	T	t a	cos 2 nt b sin 2 nt,	здесь	a	n
	n	n	n			n

иbn – произвольные константы.

3.Решение исходной краевой задачи ищем в виде

u x, t an cos 2 nt bn sin 2 nt sin nx,

n 1

u t 0 0, u t 0 x 1 x , u x 0 u x 1 0.


u	t 0	a sin nx 0, a		0.
	t 0	n	n
		n 1

Дифференцируя функцию

t
t		2
u		2
	n 1

u	по t
nb cos
	n

, получим 2 nt sin nx;

ut t 0 2 nbn sin nx x 1 x .

n 1

Определяя коэффициенты																	bn
получаем
	1			1		x 1 x sin nxdx
n	1
n
b	n
	n			0
				0
		1						x		2	x cos nx
										2
			n
		2	n		2

												1			1
												1			1		2
												3	n	3	1		2
													n		0
															0
							1				1 2x					sin
							1				1 2x					sin
								n
							3	n	3

по формулам Эйлера – Фурье,

		1				1
		1			2	x		2	x d cos nx
		2			2	x			x d cos nx

	n					0
						0
		1


1
1				2x 1					cos nxdx
0
		0
x d sin nx
						1
		1
nx		0	2				sin nxdx
						0

Подставляя функции u,

		2			cos nx			0	;
								0
		4	n	4				1
		4		4				1

b	0, b						4			, k N.
b	0, b						2k	1	4	, k N.
2k	2k 1					4			4
						4

найденные коэффициенты в выражение для получим

		4
u x, t		4			sin 2	2k 1 t sin 2k 1 x.

	4	2k	1	4
k 0	4	2k	1

Пример 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

		u	1	u , x				0,	3	, t	0, ,
		u		u , x				0,		, t	0, ,
		tt	4		xx
			4						2
					3	, ut
					3
u	t 0	x x					t 0 0, u				x 0	u		3	0.
u	t 0	x x					t 0 0, u				x 0	u		3	0.
					2								x
					2								x	2

Решение.
1. Будем		искать	нетривиальное	решение	исходного
уравнения	в	виде	произведения	двух	функций
u x, t X x T t . Дифференцируя дважды это выражение
по x и по t,	после подстановки его в исходное уравнение по-

лучим
		X x T t ,
u X x T t		X x T t ,
tt	t
	t

		u
		xx
или 4	T t	X x
или 4	T t	X x
	T t	X x

Поэтому функции

Xx T

x T tt

X x

		X x T t ,
		X x T t ,
		x
	1	X x T t ,
	4	X x T t ,
	4

являются решениями обык-

новенных дифференциальных уравнений

X x X x 0, X 0			X			3
X x X x 0, X 0			X					0.
						2
2. Решаем задачу X				x X x 0,
2. Решаем задачу X				x X x 0,
k	2	0, k			2		, k
	2				2
								1, 2
X x C1 cos
X x C1 cos						x C2 sin

4T t T t 0;

X0 X 2 0.

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27