Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таким образом, получим задачу о собственных значениях:

X x X x 0,
	126
	126
X 0 0, X l 0,

уже изученной при рассмотрении колебаний однородной ограниченной струны. Нами было получено, что лишь при значениях , равных

	n	2
		, n N,

n	l

127

существуют нетривиальные линейно независимые решения

задачи 124	и 125 :
	X		x sin		nx			.
	X	n	x sin		l			.
		n

При n		уравнение 123
					n	2
					n		2	t
	T	t		A e			a	t
	T	t		A e	l			,
	n			n

128

имеет решение в форме

129

здесь	An – коэффициенты, которые нужно найти. Следова-
тельно, в силу 121 , любая зависимость
		n 2	2		nx
			a	t	nx	130
vn x, t X n x Tn t Ane		l		sin	l	130
					l
является решением уравнения		118 , для которого выполня-

ются граничные данные

120 .

Решением того же уравнения

с такими же граничными данными согласно принципа наложения является ряд

					n	2
					n	2	t
	n					a	t
v x, t	n	x, t	n		l
v x, t	v	x, t		A e

	n 1		n 1

sin	nx	.
	l

131

Найдѐм коэффициент An при условии удовлетворения начального условия 119 . Считая t 0, будем иметь

			nx
1	x	n
	x	A sin	l	.
		n 1	l
		n 1

132

Представленный

ряд

есть

разложение

этой

зависимости

1 x

в ряд Фурье по синусам кратных аргументов. Коэффи-

циенты

An вычисляются по формуле Эйлера-Фурье элемен-

тарным интегрированием:

B A

x sin

sin

A 1

B .

x sin

n 1

133

Для ряда 131

с коэффициентами

133

выполняются все

условия задачи 118 – 120 .

Элементы

vn x, t

ряда

131

являютя моделью темпе-

ратурных волн. Амплитуда температурных волн сокращаается с течением времени, так как она содержит множитель

	n	2
	n	2	t
		a	t
e	l		.
e			.
		Итоговое решение заданной краевой задачи
117 :

115

–

	u x, t A	B A
	u x, t A	l
		l

здесь коэффициенты

x An

		n	2		nx
		n	2
			a	t
n		l		sin		,
	A e	l		sin	l	,
n 1					l
n 1

определяется соотношением

134133 .

Пример 1. Решить однородное уравнение теплопроводности на отрезке:

u u			, x 0, 1 , t 0, ,
t	xx
u	t 0	sin3		2 x, x 0, 1 ,

u	x 0	u	x 1	0, t 0, .
	x 0		x 1

Решение.

1. Находим вспомогательные решения исходного урав-

нения в форме v x, t X x T t

при условии v x 0 v x 1 0,

что означает

X 0 X 1 0.

С этой целью подставим зави-

симость v x, t X x T t

в заданное уравнение и разделим

аргументы:

T t X x ,

X x T t T t X x x

T t

X x

Таким образом,

зависимости

X x

T t

представля-

ют собой решения пары задач:

а)

x X x

0, X

0 X 1 0;

б)

t T t 0.

2. Находим решение задачи а).

X x X x 0;

1, 2

Общее решение:

X x C1 cos

x C2 sin

x. Исполь-

зуя граничные данные, будем иметь:

X 0 C 0,

X 1 C sin

, n N;

x C sin nx C sin nx, C

, n N.

3. Найдѐм решение задачи б). Для

2n2

получим

T t

n T t 0;

n T ;

n dt;

dt;

ln T

;

ln T

;

t ln An

ln T

ln e

ln An

;

ln T

ln An e

Общее решение данного уравнения:

An e

, n N.

4. Таким образом, вспомогательные решения заданного уравнения представляются в форме

x, t C An e

sin nx A e

sin nx,

где

An .

5. Решение исходного уравнения теплопроводности ищем в виде


u x, t	n	x, t	n	2	2	t
	v		A e		n	t
	v		A e
	n 1		n 1

sin nx.

Эта функция является решением исходного уравнения и удовлетворяет исходным граничным условиям при любых An ,

при которых ряд для функции u x, t сходится.

6. Находим коэффициенты

A	,
n

такие, что u x, t удо-

влетворяет исходному начальному условию, которое запишем в виде:

u		sin	3	2 x sin	2	2 x sin 2 x			1 cos 4 x	sin	2 x
			3		2
	t 0								2
									2
						sin 2 x	1	sin 6 x sin 2 x
sin 2 x sin 2 x cos 4 x						sin 2 x	2	sin 6 x sin 2 x
sin 2 x sin 2 x cos 4 x

		2							2
		2							2
						79

С другой стороны,

3	sin 2 x			1	sin 6 x.
4	sin 2 x			4	sin 6 x.
4				4
						3		1
u			A sin nx			3	sin 2 x	1	sin 6 x.
u		t 0	A sin nx				sin 2 x		sin 6 x.
		t 0	n			4		4
			n 1			4		4
			n 1

Отсюда

A	3	,

2	4

A	1	,

6	4

A A		A	A 0,
1	3	4	5

An 0, n 7.

Подставляя эти коэффициенты в формулу для решения исходного уравнения теплопроводности из пункта 5, получаем:

u x, t	3		2	t		1		2	t
		e	4	t	sin 2 x		e	36	t
	4	e			sin 2 x	4	e
	4					4

sin 6 x.

Пример 2. Решить однородное уравнение теплопроводности на отрезке:

	u		1	u , x 0, 3 , t 0, ,
	u			u , x 0, 3 , t 0, ,
		t	9			xx
u			9			3 x 4sin12 x, x 0, 3 ,
u		8sin			3	3 x 4sin12 x, x 0, 3 ,
	t 0
		u	x 0			u	x 3	0, t 0, .
			x 0				x 3

Решение.

1. Находим вспомогательные решения исходного урав-

нения в форме

v x, t X x T t

при условии v

x 0

x 3 0,

что означает

X 0 X 3 0.

С этой целью подставим зави-

симость v x, t X x T t

в заданное уравнение и разделим

аргументы:

X x T t

x x

X x T t

T t

T t X x ,

X x

T t

X x

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27