Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

проводности.

Описанный перед этим общий план решения задач с неоднородностями в уравнении и граничных данных в некоторых случаях оказывается трудной для нахождения неизвест-

К примеру, для задач со стационарными неоднородностями проще находить стационарное решение и определять смещение от него.

Изучим, к примеру, задачу для ограниченного стержня

однородными граничными данными, легко определяем методом Фурье.

Теплопроводность бесконечного стержня. Задача Коши для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в неограниченном стержне без внутренних источников тепла и теплоизолированной боковой поверхностью. Предположим, что в начальный момент времени известна температура в разных сечениях неограниченного стержня. Необходимо найти распределение температуры в стержне в очередные моменты времени.

Замечание. К этой модельной задаче сводятся физические ситуации, в которых стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках мало зависит от условий на концах стержня.

Пусть ось стержня совпадает с осью Ox. Тогда математически задача о распространении тепла формулируется следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности

Решение этого уравнения ищем в виде произведения двух

Последнее равенство должно выполняться при любых и x. Данное требование справедливо, если дроби в его левой и правой частях равны одной и той же константе.

Требование ограниченности решения, следующее из физических соображений, устанавливает отрицательный знак этой константы. Тогда из соображений удобства можно положить

Первое уравнение есть уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:

также произвольные постоянные. Далее запишем частное решение уравнения

Найденная функция является решением уравнения, но начальным условиям она не удовлетворяет. Зависимость функции u x, , от константы как от параметра позво-

ляет искать необходимое частное решение в виде бесконеч-

если a и b удовлетворяют условию, что данный инте-

грал, его производная по и вторая производная по x определены и находятсятся дифференцированием интеграла по и x. Коэффициенты a и b подбираются так, чтобы

удовлетворять начальному условию

ловой оси, представим еѐ в виде интеграла Фурье:

Это выражение является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности. Однако это выражение является достаточно громоздким и малопригодным для анализа. С целью его упрощения введѐм новые переменные:

I e 2 cos d .