Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таким образом, зависимости ют собой решения пары задач:

а)	X		x X x 0, X 0

X x X 3

T t

представля-

б) T t

T t 0.

2. Найдѐм решение задачи а).

X x X x 0;

1, 2

X x C1 cos

Общее решение:

x C2 sin

x. Исполь-

зуя граничные данные, будем иметь:

X 0 C 0,

X 3 C2 sin 3

, n N;

C sin

x C sin

x, C

, n N.

3. Найдѐм решение задачи б). Для

получим

2n2

t 81 T t 0;

2n2

dt;

2n2

dt;

ln T

t ln An

;

ln T

t ln An

;

ln e

ln T

ln An

;

ln T

An e

2n2

t , n N.

Общее решение данного уравнения: T An e

4. Таким образом, вспомогательные решения заданного уравнения представляются в форме

v x, t C

sin

x A e

sin

An e

где

Cn An .

5. Решение

исходного

уравнения

теплопроводности

ищем в виде

u x, t

x, t

sin

A e

n 1

Эта функция является решением исходного уравнения и удо-

влетворяет исходным граничным условиям при любых	An ,
при которых ряд для функции u x, t сходится.

6. Находим коэффициенты

A	,
n

такие, что

u x, t

удо-

влетворяет исходному начальному условию, которое запишем в виде:

4sin 3 x 4	1	sin 9 x sin 3 x 4sin12
	2

4sin 3 x 2sin 9 x 2sin 3 x 4sin12 x

6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x.

С другой стороны,

		sin n x 6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x
u t 0	An	sin n x 6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x
	n 1		3
	n 1
	6sin		9	x 2sin		27	x 4sin	36	x.
	6sin			x 2sin			x 4sin		x.
			3		3			3
Отсюда	A9 6,	A27	2,		A36 4, все остальные коэффици-

енты равны нулю. Подставляя эти коэффициенты в формулу

для решения исходного уравнения теплопроводности из пункта 5, получаем:

	9	2	2		27	2	2		36	2	2
u x, t 6e			t				t				t
		81		sin 3 x 2e	81			sin 9 x 4e	81			sin12 x

	2	t		2	t		2	t
6e		t	sin 3 x 2e	9	t	sin 9 x 4e	16	t
6e			sin 3 x 2e			sin 9 x 4e

sin12 x.

Неоднородное уравнение теплопроводности.

Требуется найти решение неоднородного уравнения

удовлетворяющее начальному условию

u	t 0	0
	t 0

и однородным краевым условиям

u	x 0	0, u	x l	0.
	x 0		x l

135136137

При этом предполагается, что				непрерывная функция
f x, t имеет кусочно-непрерывную				частную производную
первого порядка по	x и что при всех			t 0 удовлетворяются
граничные данные f		x 0 f	x l 0.

Определим решение u x,

ряда Фурье

u x, t Tn t sin

n 1

задачи

nx l

135

- 137

в форме

138

по собственным функциям задачи 126 . Раскладывая зави-

симость

здесь

x, t в ряд Фурье по синусам, получим
					nx
f x, t fn t sin					l	,
			n 1		l
			n 1
fn t	2	l	f x, t sin	nxdx.
fn t	l		f x, t sin	nxdx.
	l				l
		0
			83

139

140

После подстановки ряда

138

в уравнение

135

и принимая

во внимание

139 , получаем

a n

sin

n 1

Отсюда

T t

t x, n N.

Пользуясь начальным условием для u x, t

t 0 sin nx

u t 0

n 1

Tn t :

получаем начальное условие для

t 0

0, n N.

Решение уравнения

141

при начальном условии

ет вид:

142

141

142

име-

	l		na			2
						t
n
		e				f
T t				l

	0
Подставляя выражение					143
решение задачи 135				–	137
l		na 2			t

u x, t e			l			fn

n 1 0

n	d .

для Tn t в форме

d sin

в ряд

nx . l

138 ,

143

получаем

144

Замечание. При условии неоднородности начальных данных, в решение 144 нужно присоединить частное решение однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее исходным начальным данным u t 0 x и u x l 0.

Общая первая краевая задача.

Изучим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: решить уравнение

u a	u	f x, t
2
t	xx

145

с дополнительными начальным и граничными условиями

u	t 0	x	,	146
u		x	,

	x 0 1 t ,

u
u			t .

	x l	2

147

Определим новую подлежащую нахождению зависи-

мость

v x, t :

u x, t U x, t v x, t ,

148

являющуюся смещением от некоторой заданной зависимости

U x, t .

Данная

зависимость

v x, t находится

как

решение

, f

x, t f x, t

уравнения vt

a vxx f x, t

a Uxx с

дополнительными условиями

t 0

, x x U

t 0

;

x 0

t t U

x 0

;

v x l

2 t ,

2 t 2 t U x l .

Выберем

вспомогательную

функцию U x, t

так, чтобы

1 t 0

и 2

t 0,

для чего достаточно положить

U x, t 1 t

2 t 1 t .

Следовательно, определение зависимости u x, t

как реше-

ния общей краевой зависимости v x, t

задачи трансформировано к определению как решения краевой задачи с нулевыми

граничными данными. Способ определения зависимости

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

3 x 4sin12 x 8sin2

3 x sin 3 x 4sin12 x

4sin 3 x 4sin 3 x cos 6 x 4sin12 x




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27