Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В этом

	0;
y

случае

xxxy

yyxx

x .


xy	yy

По

1; y

правилу

	1;
x

диффе-

ренцирования сложной функции

u u

u ,

x x

x y

u .

y y

В итоге подстановки исходное уравнение принимает

вид

6u 6u

6u 3u

то есть исходное уравнение приводится к каноническому ви-

	2	, где x y и x.

ду u u 6u 3u

2.2. Классификация уравнений второго порядка со многими переменными в точке

Точно также возможно произвести классификацию уравнений в частных производных второго порядка, когда числонезависимых аргументов превышает 2.

Исследуем квазилинейное (то есть линейное относительно всех старших производных) дифференциальное уравнение второго порядка

n	x, u, grad u 0.

aij x uxi x j		23
i 1		23
i 1

Чтобы упростить уравнение 23				в точке	x0	с помощью
замены переменных						24
	y y	x	,			24
	y y	x	,
y y1, y2 , ..., yn , yi	yi x1,	x2	, ..., xn ,	i 1, n,	yi	– дважды

непрерывно дифференцируемые функции, якобиан преобра-

, y

, ..., y

зования

det

x 0,

достаточно упро-

, x

, ..., x

стить квадратичную форму

p p

i, j 1

с помощью невырожденного линейного преобразования

, det

l 1

переводящем форму 25

ql qk ,

в форму

lk y0

k , l 1

lk y

i, j 1

где

– новые коэффициенты при вторых производных.

Из линейной алгебры известно, что найдѐтся невырожденное

линейное форма 25

преобразование	26 ,	такое, что квадратичная
преобразуется к каноническому виду:

Кроме того, лые числа r

r		m
l		l
q	2	2	, m n.
q		q	, m n.	28
l 1		l r 1		28

согласно закону инерции квадратичных форм це-

свободны от преобразования 26 . Это даѐт

возможность произвести классификацию дифференциальных

уравнений	23 в зависимости от значений коэффициентов
a в точке	x .
ij	0
В случае, когда в квадратичной форме 28		m n	и все
слагаемые имеют одинаковый знак, то есть либо		r m,	либо
r 0, уравнение 23 принадлежит к эллиптическому классу
в точке x0 ; в случае, когда m n, но присутствуют слагае-
мые различных знаков (то есть 1 r n 1), уравнение			23
принадлежит к гиперболическому классу в точке		x0 ; и, в слу-
чае, когда	m n, уравнение 23 принадлежит к параболиче-

скому классу в точке

x0 .

Замечание. Данная классификация зависит от выбора

точки x0 , поскольку числа r и m

зависят от выбора точки

x0 . К примеру, уравнение Трикоми

принад-

лежит к смешанному классу: в случае, когда

y 0,

принад-

лежит к гиперболическому классу, когда

y 0,

принадлежит

к эллиптическому классу, а в случае, когда

y 0, принадле-

жит к параболическому классу .

Предположим, что коэффициенты

aij

уравненич 23

являются константами, и что преобразование

преобра-

зует квадратичную форму 25

к каноническому виду

28 .

В этом случае линейная подстановка независимых аргумен-

		n						23
тов	yl	li xi		переводит уравнение				23		к такому канони-
		i 1
ческому виду:
		r	~	m	~	~	~	~
		u yl yl		u yl yl		x, u, grad u			0.		29
		l 1		l r 1							29
							28

Как правило, в приложениях математической физики количество независимых аргументов не более четырѐх, один из которыхх – время, а три остальных – пространственные аргументы. Следовательно, в достаточно объемлющем случае линейные дифференциальные уравнения второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического классов с постоянными коэффициентами имеется возможность преобразовать к таким каноническим видам соответственно:

Здесь

u u pu							f	x , x			, x , t ;
			tt						1	2	3
	u ut f x1, x2 , x3 , t ;
	u pu f x1, x2 , x3 .
		2			2			2
		2			2			2
	x		2	x		2	x		2	– оператор
	x		2	x		2	x		2
		1			2			3

3132

Лапласа по про-

странственным переменным.
Примеры.	Уравнение Лапласа	u 0
эллиптическому	классу, волновое уравнение

принадлежит к

W u	f , в ко-
a

тором

– волновой оператор (оператор Даламбера),

			2
W					2	,	– оператор Лапласа,
W				2	a	,	– оператор Лапласа,
a		t		2
		t
болического							типа	и	уравнение
u			2		u f		– параболического типа.
t	a				u f		– параболического типа.
t

n		2
	x		,	– гипер-
		2
i 1		i

теплопроводности

2.3. Характеристические поверхности

Пусть непрерывно x x1, x2 , ..., xn , n 2,

верхности x 0 grad

дифференцируемая функция

удовлетворяет условию, что на

x 0 и

x ,

по-

n	x
n
a			x
ij		x	x	x
i, j 1		x		x	j
i, j 1		i			j

В этом случае поверхность

x	0.

x 0

именуется харак-

теристической поверхностью (или характеристикой) ква-

зилинейного дифференциального уравнения 23 , а уравне-

ние 33 – характеристическим уравнением. В случае	n 2
характеристическая поверхность именуется характеристиче-
ской линией.

Допустим, что	любая поверхность множества
x C 0, a C b,	является характеристикой уравнения

23 .

Так как на всякой характеристике

grad 0,

то это

множество заполняет какую-то достаточно малую область

через любую точку которой проходит одна и только одна ха-

рактеристика. Предположим,		что –	дважды непрерывно
дифференцируемая в области		G функция. В этом случае, ес-
ли в преобразовании 24	положить y1		x , то согласно
27 и 33 коэффициент	~
	11	станет равным нулю в соответ-
~
ствующей области G . Следовательно,			зная одно или не-

скольких множетв характеристик дифференциального уравнения, можно преобразовать данное уравнение к возможному простому виду.

Примеры характеристик.
	W
а) Волновое уравнение	a u	f .	Его характеристиче-

ское уравнение имееет вид t

ность

a2 t t0 2 x x0 2

a2 n 2 0. Поверх-

i 1 i

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27