Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3.2.Задачи на бесконечной прямой. Задача Коши. Уравнение колебаний струны и его решение

методом Даламбера

Исследуем свободные колебания бесконечной струны, то есть достаточно длинной струны, влияние концов которой на процесс колебаний можно не учитывать.

Причинами таких возмущений возможны начальные отклонения струны от положения равновесия или приданный струне начальный импульс, вызывающий определѐнное распределение скоростей частиц струны. Следовательно, моделируя свободные колебания бесконечной струны, требуется найти решение однородного уравнения свободных колебаний

	u				u
2		a		2			,
t		a	2	x			,
t	2			x		2
	2					2

с начальными условиями

u	t 0	x

здесь функции x			и

оси.

Начальные условия

;

0, x ,			36
			36
u		x ,
t	t 0	x ,		37
t


x	определены всюду на числовой
37	единственным образом задают

возмущения бесконечной струны. В этом случае задача

36 ,

именуется задачей с начальными условиями или задачей

Коши.

Решим данную задачу методом Даламбера. С этой це-

лью

зададим

новые

независимые

аргументы

x at;

x at.

Находя производные в новых аргументах, получим:

u u u au au

;

u a u u u u

u u u			u u		;
t	x	x

u	u	u		u	u		u	2u	u .
xx		x	x		x	x
	Уравнение			36	с новыми аргументами примет

такого дифференциального уравнения для функции u

форму

, :

;

4u	0

или

Непосредственной подстановкой можно проверить, что решением уравнения является функция типа

где

u
1

u	2
	2

u , u1 u2 ,

– произвольные дважды дифференцируе-

			u
			u
		2		u2
мые функции. Действительно,				u2	0.

тельно, функция
u x, t u	x at	u	x at ,
1		2

удовлетворяет уравнению 36 .

Следова-

Определим теперь u1 и							u2 таким образом,
влетворялись начальные условия 37 . Тогда
	u	t 0		u		x u	x x ,
		t 0			1	2
u	t 0		au x au x x .
	t 0					1	2
Интегрируя равенство						40 в пределах от x0		до	x,
							x
au2 x xx0					au1 x		xx0 d
							x0

чтобы удо-

3940

получаем

или

d С,

x u x

где

x0 и С

– постоянные,

С u2

x0 .

Из системы уравнений

имеем

Подставляя теперь функции u1 и u2 в уравнение дим

		1			1	x at
u x, t		1	x at		1	d
u x, t		2	x at		2a	d
		2			2a	x
						0
	1			1	x at
	1	x at		1	d ,
	2	x at		2a	d ,
	2			2a	x
					0

;

38 ,

нахо-

или

u x, t	x at

Если функция

x at	1	x at	d .
x at	1			42
	2a
		x at

имеет производные первого и вто-

рого порядка включительно, а функция x – первого порядка, то соотношение 42 является решением задачи Коши36 , 37 . В этом случае ение 42 именуется формулой Даламбера. Из неѐ вытекает, что для задачи Коши 36 , 37

волнового уравнения существует только одно решение, непрерывно зависящее от начальных условий, то есть если

1 x 2 x 1 и 1 x 2 x 2 , то

когда

1, 2

u1 0.

x, t u

x, t ,

Данное свойство непрерывной зави-

симости решения от начальных условий гарантирует корректность постановки задачи Коши для уравнения гиперболического класса, являющуюся следствием физической детерминированности моделируемого волнового явления.

Пример 1. Найти решение уравнения

если

t 0

x2 ,

t 0

Решение. Так как a 1, а

x 0,

то

x at x at

где

. Таким образом,

x at

Пример 2. Найти решение уравнения

, если

t 0

Решение. Здесь a 2,

x 0,

x x. Отсюда

x 2t

xt.

x 2t

Пример 3. Определить вид струны, задаваемой уравне-

нием

в момент времени t

при условии, что

u t 0 sin x,

t 0

Решение. Имеем


	sin x		sin x		1	x	2
u		2		2	1			d		,
u			2		2a			d	2a	,
			2		2a	x			2a
						x
							2

то есть струна параллельна оси абсцисс.

Неоднородное уравнение.

Вынужденные колебания бесконечной струны описы-

ваютя уравнением

	u				u
2		a		2			g x, t , x , 0 t .
t		a	2	x			g x, t , x , 0 t .
t	2			x		2
	2					2

Пусть требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям (решить задачу Коши):

u			0		f	x ,
		t			1		43

	u				x .
				f2
	t

Решение исходной задачи ищут в виде:

	u x, t v x, t w x, t ,
здесь функция	v x, t представляет собой частное решение

однородного дифференциального начальными условиями, а функция

уравнения с исходными

w x, t

– неоднородного

дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями:

			v							v							w								w
		2	2	a				2		2	,					2		2		a				2		2	g x, t ,
			2	a		2				2	,							2		a		2				2	g x, t ,
						2																2
		t					x								t								x
1)					f1		x ,						2)							0,
1)	v t 0				f1		x ,						2)	w t 0						0,
		v							x			;			w
		v					f								w						0.
		t	t	0			f	2							t				t 0		0.
		t	t	0				2							t				t 0

Решение первой задачи даѐтся формулой Даламбера:

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27