Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

На основании этого свойства задачи Коши можно сделать вывод, что если во второй задаче

36 51

началь-

ные условия продолжить нечѐтным образом на промежуток

x 0	и поставить для таким образом доопределѐнной функ-
ции	v x, t	задачу				Коши на неограниченной прямой с
начальными условиями
				*		x , x 0;
	v	t 0		*
	v	t 0			x		x , x 0;
							x , x 0;			57
										57

					*	x , x 0;
	vt		t 0		*
	vt		t 0			x		x , x	0,
								x , x	0,

то еѐ решение, используя формулу Даламбера, будет иметь вид

v x, t	*	x at	*	x at	1	x at		d
	*		*			x at
							*
							*
		2			2a	x at
						x at

и для любых

51 .

t 0

и x 0 есть также решение второй задачи

Действительно, эта функция, являющаяся решением волнового уравнения, равна нулю в точке x 0 в любой мо-


мент	времени	t 0		из-за нечѐтности начальных данных
57 ,	а при t 0 и		x 0 удовлетворяет начальным условиям
второй задачи		51	можно окончательно записать в виде

x at x at			1		x at
	2		2a					d ,
	2		2a		x at
					x at
		x		0, t		x
						x	;
							;		59
						a			59
v x, t			1
x at at x			1		at x
	2		2a					d ,
	2		2a		at x


		x		0, t		x	.
		x		0, t			.
						a
Проанализируем полученное решение. В области									x at
влияние границы не сказывается и решение								59 здесь пол-
ностью совпадает с решением для бесконечной струны									42 .
В области x at	волна, пришедшая из вспомогательной об-

ласти

x 0,

реально описывает воздействие волны, отражѐн-

ной от зафиксированного конца

x 0.

Из решения

вы-

текает, что при отражении волны от зафиксированного конца смещение струны сменит свой знак.

Замечание. Для второй задачи

представляется

возможным найти решение и для случая незафикированного

конца, при этом граничное условие примет форму

v	x 0
x

Для того, чтобы решить эту задачу, начальные условия надо доопределить на промежуток x 0 чѐтным образом. В поставленной таким образом задаче отражение волны от незакреплѐнного конца будет осуществляться без смены знака смещения.

Как уже указывалось, решение задачи			50 можно запи-
сать в виде суммы решений	56	и 59	вспомогательных
задач 51 :
	47

x at

d ,

x at

2a x at

x 0, t

;

u x, t

x at at x

at x

d , x 0, t

2a at x a

3.3.Метод Фурье на примере уравнения колебаний

струны

Краевые задачи для гиперболического уравнения.

В математической модели явлений поперечных колебаний струны или продольных колебаний стержня конечной длины к начальным данным добавить граничные данные. Эти условия показывают, что происходит на концах струны или стержня в любой момент времени.

Опишем задание различных граничных режимов на

концах струны или стержня, расположенных в точках

x 0

x l.	При этом для описания	выделим один из	концов,
например x l.
	Если задан закон движения	t этого конца,	то реше-

ние задачи о колебаниях должно удовлетворять при							x l
граничному условию первого рода							61
u	x, t	x l	t		.


В частности, однородное условие				t 0		задают в случае

жѐсткого закрепления конца струны или стержня.

Если задан закон изменения силы F t , приложенной к концу стержня x l, то эта сила вызовет упругие напряжения в стержне, причѐм по закону Гука упругая сила на конце

стержня с площадью поперечного сечения			S пропорцио-
нальна относительному удлинению	u	и равна	ES	u	, где	E
	x			x

– модуль Юнга материала. Следовательно, на конце стержня

x l	должно выполняться граничное условие второго рода
				u		t ,
				x	x l	t ,		62
				x


где	t	F t	.	Если	t 0, то конец стержня является
где	t	ES	.	Если	t 0, то конец стержня является
		ES
свободным.
	Пусть теперь к концу стержня при						x l прикреплена

пружина, действующая на стержень с силой, пропорциональной смещению стержня u x, t при x l. Эта упругая сила

F ku l, t , где

– коэффициент жѐсткости пружины, бу-

дет играть роль внешней силы. Поэтому в таком случае на конце стержня должно выполняться граничное условие третьего рода

где

	u		hu		или	u	hu		0,
	x	x l	hu	x l	или	x	hu	x l	0,
	x					x
h	k	– некоторая постоянная.
h	ES	– некоторая постоянная.
	ES

Естественным обобщением 63 является условие

u			x l g t .
	x	hu

Задачи отыскания решений уравнений колебаний с учѐтом начальных и граничных условий называются начальнокраевыми или просто краевыми для волнового уравнения.

Краевые задачи, когда в граничных точках заданы условия первого, второго или третьего рода, называются соответ-

ственно первой, второй или третьей краевыми задачами.

Можно рассматривать и смешанные краевые задачи, если в граничных точках заданы условия различного типа.

Метод разделения переменных (метод Фурье) предста-

ляет собой наиболее часто используемый способ решения задач математической физики в ограниченных промежутках. Опишем данный способ применительно к задаче о свободных колебаниях ограниченной струны с зафиксированными концами, еѐ постановка имеет вид: решить однородного волновое уравнение

	u				u
2				2
		a	2				, t 0, 0	x l,
t	2	a		x		2	, t 0, 0	x l,
t				x

с заданными начальными данными

u		x ,	u		x , 0	x l,
u	t 0	x ,	t	t 0	x , 0	x l,
	t 0			t 0

и однородными граничными данными

u	x 0	0, u	x l	0, t 0.
	x 0		x l

Основные положения метода разделения переменных базируются на линейности и однородности уравнения и граничных данных. При этом имеет место принцип наложения

для всех частных решений

уравнения

65 ,

то есть

функция

шением

u C u
1	1

уравнения

C u		,
2	2
65

где

C1, 2

const,

тоже является ре-

и для неѐ справедливы граничные

данные 67 . В этом случае, используя наложение линейно независимых частных решений, представляется возможным удовлетворить и начальные данные 66 .

Найдѐм ненулевое решение уравнения	65	в форме
произведения двух функций
u x, t X x T t ,		68
50

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27