Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

v x, t	f	x at f	x at	1	x at	f2 d .
					x at
	1	1
		2		2a	x at
					x at

Для отыскания решения второй задачи построим вспомога-

тельную функцию	w x, t, ,			которая для t					удовлетворяет
однородному уравнению					w
		w			w
	2		a	2
	t		2	x						44
	t	2		x		2				44
		2				2
и начальным условиям		w x, 0,					w	t g x, .		Решение
и начальным условиям		w x, 0,					t	t g x, .		Решение
							t

этой задачи также описывается формулой Даламбера, в которой переменную t нужно заменить на t :

w x, t,	1	x a t

	2a
		x a t

g z, dz.

Функция

ей w x, t,

x, t – решение второй задачи связана с функцисоотношением:

w x, t	1	t
		w x, t, d .
	2a
		0

Убедиться в этом несложно путѐм прямой проверки. Действительно, используя формулу Лейбница дифференцирования по параметру интегралов с переменными пределами

b t

f t,

f t, b b

t f t, a a

t, d :

a t

w x, t, t

d ,

но

x, t, t

g z, d .

Следовательно,

w	t	w
	t
t		t	d .
t	0	t
	0

Продифференцируем выражение 47

d g x, t

Теперь продифференцируем его по

x :

по t :

t		w
t	2
	t	2	d .
0	t
0

Подставив

		2	w
		2
	x
			2
и	49

t		w
t	2
	x		2	d .	49
0					49

в исходное уравнение для функции

w x, t ,

имеем:

d 0.

Так

как функция

0 x

w x, t,

удовлетворяет

волновому уравнению

44 , то по-

следнее равенство выполняется, и, следовательно, функция46 является решением неоднородного волнового уравнения.

Из формул 46 и 47 видно, что функция w x, t удовлетворяет следующим начальным условиям:

w t 0 w t 0 d 0,

t 0

dt 0.

Итак, решением второй задачи является функция

определяемая формулами 45

и 46 :

w x, t

g z, dz d .

Решение задачи Коши для неоднородного уравнения сумма трѐх слагаемых:

x, t ,

есть

u x, t

x at f

x at

f2 d

x at

g z, dz d .

Краевые задачи на полуограниченной прямой.

При условии, что, моделируя явление колебаний струны, принимается во внимание воздействие одного из еѐ концов x 0 , является возможным исследовать колебания в

полуограниченной струне, источником которых является граничное возмущение, и проанализировать явление отражения волн от закреплѐнного конца струны.

Поставим такую начально-краевую задачу для полуограниченной прямой:

	u						u
2						2
			a		2				, t 0, x 0
t	2		a			x		2	, t 0, x 0
t	2					x		2
– уравнение,
		u		x 0					t , t 0
				x 0
									50
– граничное условие и
u	t 0			x , x 0;
	t 0
				x , x 0
u				x , x 0
		t 0
t		t 0

– начальные условия.

В этом случае таким образом определѐнная функция

t	моделирует закон движения конца струны. В частности,

она может представлять собой периодическую функцию времени.

Принимая во внимание линейность задачи 50 , будем

искать еѐ решение в виде суммы u w v решений двух вспомогательных задач, одной из которых отвечают нулевые

начальные условия, а другой – однородное граничное условие:

2 w

;

x 0

t ;

x 0

x ;

t 0

t 0 0

x .

vt t

Будем решать первую задачу

51 ,

используя преобра-

зование Лапласа по временному аргументуту	t 0.	В резуль-
тате будем иметь

g w x, t w x, p ,

g ~

t p ,

(52)3

и первая из задач 51 преобразуется к элементарной задаче для нахождения изображения.

Общее решение уравнения

имеет вид

	~	p	x		p	x
	~		x	C e		x	.
	w x, p C e	a		C e	a		.
		a			a
	1			2
Константу C2	следует положить равной нулю,
Re p 0 исключить неограниченно растущие при

чтобы для x ре-

шения.

Выполняя граничное условие в точке

x 0,

получаем

Тогда решение

w53

		~
x 0	C1	p .	54
			54

примет вид

~	~	p	x
				.
w x, p p e		a

Из выражения	55	по теореме запаздывания можно найти
оригинал

		x	, x at;
	t		, x at;
w x, t		a	56
			56
0, x at,

который и является решением первой задачи 51 .

Такое решение имеет простой физический смысл. Так как возмущения в струне распространяются в виде волн с конечной скоростью, равной a, то колебания в точке с абсцис-

сой

повторяют колебания струны в точке

x 0

с запазды-

ванием по времени на величину	x	.	Кроме того, в любой
	a

момент времени t 0 существует область				x at, куда воз-

мущения от конца струны ещѐ не дошли.

Решение второй задачи 51 проведѐм методом распро-

страняющихся волн с продолжением начальных данных на всю прямую x . Для этого докажем сначала, что если

в задаче 36 , 37 о колебаниях на неограниченной прямой

начальные данные являются нечѐтными функциями относительно точки x 0, то в этой точке в любой момент времени решение равно нулю.

Действительно, если в задаче 36 , 37 x x и x x , то по формуле Даламбера 42 получим

u	x 0

at at	1	at
2	2a	d 0,
2	2a	at
		at

поскольку интеграл от нечѐтной функции в симметричных относительно начала координат пределах равен нулю.

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27