Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

В зависимости от характера исследуемого процесса и предъявляемых к нему требований существует множество методов анализа динамических рядов, которые, в основном, касаются либо исследования параметров случайной составляющей, либо выявления систематической составляющей и установления тенденций и скорости ее изменения. В данном разделе будут рассмотрены только методы анализа динамики временных рядов – методы, которые позволят планировать объем производства и обоснованно выполнить прогноз спроса на товары и услуги.

Как уже ранее указывалось, на развитие процессов оказывает влияние большое число факторов, одни из которых являются существенными (значимыми, определяющими), а другие несущественными. Воздействие первых из них формируют некоторую тенденцию в развитии явления, а вторые искажают эту тенденцию.

В любом случае, чтобы описать некоторой математической формулой тенденцию в развитии процесса необходимо, прежде всего, очистить динамический ряд от несущественных факторов. В радиотехнике подобные мешающие факторы именуют шумом и для освобождения полезного сигнала от шума применяют фильтрацию, в результате которой происходит удаление высокочастотных колебаний. Физически операция по удалению высокочастотных колебаний эквивалентна сглаживанию анализируемого процесса. 

Сглаживание исследуемого процесса заключается в укрупнении (объединении) данных процесса и нахождении для укрупненных данных среднего значения для всего анализируемого процесса или для его фрагментов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Сглаживание динамического ряда

• путем определения среднего значения для всего анализируемого процесса;

• путем разбиения динамического ряда на 2-е не перекрывающиеся части и определении для каждой из них средних значений.

Вполне очевидно, что когда имеется некоторый установившийся режим функционирования, выборочные результаты которого искажены помехами, т.е. образовался так называемый случайный стационарный процесс, то для определения параметров подобного процесса проводят усреднение имеющихся результатов.

Если процесс не стационарен, то для оперативной, прикидочной оценки его динамики усредняют различные фрагменты процесса, а его средние точки соединяют отрезками прямых линий.

Последний метод сглаживания уровней ряда именуют методом укрупнения интервалов.

Он часто применяется, если исходные уровни ряда относятся к коротким интервалам.

Например, если имеются данные о суточном выпуске продукции, то для анализа динамики процесса укрупняют интервалы наблюдений и рассматривают количество выпускаемой продукции за неделю, за месяц или за квартал. Обычно укрупненные данные более четко отражают динамику процесса – либо его стабильность, либо рост, либо спад.

Однако наиболее часто сглаживание ряда динамики производят на основе метода скользящей средней.

Суть метода заключается в том, что сначала выбирают первые m уровней (точек) ряда динамики и вычисляют по ним среднее значение, затем среднее значение определяют для следующих m точек ряда, но сдвинутых вправо на один уровень, потом среднее значение определяют для m точек, сдвинутых вправо на два уровня и т.д.

Таким образом, находят ряд средних значений по m точкам, «скользя» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень слева и добавляя один уровень справа.

Поэтому метод получил название - скользящая средняя. Последовательность выбранных m точек часто именуют пробным периодом.

Каждое новое значение представляет собой средний уровень за пробный период и смещено относительно анализируемого числа m точек в его середину.

Чтобы исключить несимметричное смещение полученного в результате преобразования временного ряда относительно исходной совокупности стремятся выбрать число m нечетным.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики более громоздко, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя уровнями, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число членов скользящей средней обозначить через 2 l, то серединным будет уровень, относящийся к l + 1/2 члену ряда.

Например, средняя, найденная для четырех точек исходного ряда, должна располагаться посредине между второй и третьей точками исходного ряда.

В результате такого преобразования между исходным динамическим рядом и преобразованным получается несимметричный временной сдвиг, что не всегда удобно для проведения последующего анализа.

Чтобы ликвидировать подобный временной сдвиг, применяют так называемый способ центрирования, который предусматривает повторное усреднение преобразованного ряда по двум смежным точкам. В результате центрирования каждая усредненная скользящая средняя строго относится к какой-либо одной точке исходного временного ряда.

На рис. 6.3 для некоторой организации приведен динамический ряд числа продаж ЭВМ по годам. Здесь же приведена динамика сглаженного ряда по трем точкам.

фактические уровни ряда динамики

скользящие средние по трем ординатам

Рис. 6.3. Временной ряд. Динамика продаж ЭВМ

На рис. 6.4 этот же временной ряд сглажен скользящей средней по четырем точкам, затем произведено центрирование усредненного ряда.

Фактические уровни ряда динамики

Скользящие средние по четырем ординатам (нецентрированные)

Скользящие средние по четырем ординатам (центрированные)

Рис. 6.4. Временной ряд. Динамика продаж ЭВМ

Приведенные кривые достаточно ясно иллюстрируют, что сглаженные зависимости имеют более наглядную динамику тенденций развития временного ряда.

Задача № 1.

В табл. 6.1 приведен динамический ряд числа рекламаций ЭВМ, предъявленных их разработчику, за десять последовательных месяцев.

1. Проведите сглаживание временного ряда по методу скользящей средней, выбрав в качестве пробного периода:

• пять точек;

• четыре точки.

2. Выполните центрирование ряда сглаженного по четырем точкам.

3. Поясните полученные результаты.

Таблица 6.1

Решение задачи представлено в табл. 6.2.

Приведенные в табл. 6.2 скользящие средние показывают, что имеется небольшая тенденция к уменьшению числа рекламаций ЭВМ, т.е. производитель постепенно добивается повышения надежности выпускаемой им продукции. В данном случае сглаженные результаты можно аппроксимировать линейной функцией.

Таблица 6.2

Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления.

Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет резкие изгибы, которые желательно сохранить, то более целесообразно использовать для сглаживания ряда метод взвешенной скользящей средней.

На рис.6.5 приведен пример динамического процесса, который в своем развитии имеет три стадии

I. динамика процесса линейная;

II. динамика процесса имеет вид параболы второго порядка;

III. динамика процесса имеет вид параболы более высокого порядка.

Очевидно, что при сглаживании подобных временных рядов необходимо каким-то образом учитывать существенные изменения процесса, происходящие в определенные моменты времени.

Вполне естественно напрашивается решение: при сглаживании процесса наибольшее доверие оказывать тем значениям процесса, которые он имеет в точке сглаживания и по мере удаления точек сглаживания от середины пробного периода – их степень влияния должна уменьшаться.

Рис. 6.5. Временной ряд

6.2. Метод взвешенной скользящей средней

Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Подбор весовых множителей осуществляется на основе метода наименьших квадратов.

В общем случае любую динамику временного ряда, содержащего m уровней (рис. 6.6), можно описать уравнением параболы m – го порядка. При этом параметры параболы y=y(t) могут быть подобраны таким образом, что ее кривая проходит точно через все m точек временного ряда.

Рис. 6.6. Временной ряд и его аппроксимация

параболами различного порядка

При этом с увеличением числа точек в интервале сглаживания увеличивается порядок параболы, описывающей временные изменения ряда динамики, а это нивелирует сам процесс сглаживания, так как несущественные колебания процесса не устраняются. Кроме того, анализ уравнений парабол высокого порядка сопряжен с громоздкими вычислениями.

Поэтому для сглаживания всегда стремятся использовать уравнение параболы невысокого порядка , кривая которой уже не проходит через все m точек временного ряда.

Установив путем анализа временного ряда приемлемый порядок параболы, параметры параболы находят по методу наименьших квадратов.

Более подробно вопросы аппроксимации временных рядов рассмотрены в [7].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В Данном учебном пособии рассмотрены вопросы статистического управления качеством, и изложены сведения из теории вероятностей, необходимые для их понимания.

Учебное пособие написано авторами, в основном, по материалам, опубликованным в Интернете, особенно в работе [7]

В учебном пособии рассмотрены основные законы распределения вероятностей: биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона.

На основании распределения Пуассона, изложены основные сведения из теории надежности.

Рассмотрены основные вопросы статистической выборки, такие как выборочный контроль и оперативная характеристика, программы выборки на основе риска производителя и на основе риска потребителя. Соотношение между различными программами выборки

Рассмотрены вопросы применения контрольных карт

Изложены статистические методы анализа динамических рядов.

Конечно, в учебном пособии изложены далеко не все вопросы, относящиеся к теории статистического управления качеством

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 220500 “Управление качеством”, специальности 220501 “Управление качеством ”, дисциплине «Статистические методы в управлении качеством»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гнеденко А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей./ Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. - 8-е изд., испр. М.: Наука, 1976.

2. Смирнов. Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. - М.: Наука, 1969.

3. Пугачев В.С. Введение в теорию вероятностей / В.С. Пугачев. - М.: Наука, 1968.

4. Крамер. Г.Математические методы статистики: пер. с англ / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975.

5. Робертсон. А.. Управление качеством: пер. с англ./ А. Робертсон. – М.: Прогресс, 1974.

6. Управление качеством: т. 1: Основы обеспечения качества. / под общей ред. В.Н Азарова. – М.: МГИЭМ, 1999.

7. Строителев В.Н. Статистические методы в управлении качеством / В.Н. Строителев, В.Е. Яницкий. М.: МГИЭМ, 1995.