Материал: Введение в теорию массового обслуживания
вероятности искомая вероятность
+∞ |
|
1 |
|
∫0 |
1 · −( 2+ 1)· · = |
|
. |
2 + 1 |
|||
Итак, 1/( 2 + 1)− вероятность того, что принятая заявка будет
обслужена, а, соответственно, 2/( 2 + 1)− вероятность того, что обслуживание принятой заявки будет прервано. Обе вероятности условные, т. е. при условии, что заявка принята. Согласно (31), безусловная вероятность обслуживания обычной заявки равна:
|
|
= |
0 |
· |
|
1 |
|
= |
|
1 · 2 |
|
; |
|||
обычн_обсл |
( 2 + 1) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( 1 + 2 + 1) · ( 2 + 2) |
|||||||||||
|
|
|
= |
0 |
· |
|
2 |
= |
|
2 · 2 |
|
. |
|||
обычн_прерв |
( 2 + 1) |
( 1 + 2 + 1) · |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
( 2 + 2) |
||||||||||
Разумеется, обычн_обсл + обычн_прерв = 0 – вероятность принятия обычной заявки на обслуживание.
Характеристики СМО с отказами и приоритетными заявками
1.Ожидаемое время между двумя последовательными заявками в обычном потоке
|
1 |
, в приоритетном потоке |
1 |
|
|
Ожид_об |
= |
1 |
Ожид_пр = |
|
. |
|
|
|
2 |
||
51
2. Ожидаемое время обслуживания обычной заявки
|
1 |
и приоритетной |
1 |
|
||
обсл_об |
= |
|
обсл_пр |
= |
|
. |
|
1 |
|
|
2 |
||
3. Относительная пропускная способность по приори-
тетным заявкам пр = 0 + 1 = 2 – доля приоритет-
2+ 2
ных заявок, принимаемых на обслуживание. Все принятые заявки обслуживаются.
4. Абсолютная пропускная способность по приоритетным заявкам
пр = 2 · пр = 2 · 22 + 2
– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени приоритетных заявок.
5. Относительная пропускная способность по обычным заявкам
об = обыч_обсл = |
2 |
· |
1 |
|
2 + 2 |
1 + 2 |
+ 1 |
– доля обычных заявок, принимаемых на обслуживание. Интересно, что относительная пропускная способность (ОПС) по обычным заявкам равна произведению ОПС по приоритетным заявкам на ту ОПС, которая была бы, если бы отменили приоритеты, т. е. если бы все заявки обслуживались как обыкновенные.
52
6. Абсолютная пропускная способность по обычным заявкам
об = обыч_обсл · 1 = 1 · |
2 |
· |
|
1 |
|
2 + 2 |
1 + 2 |
+ 1 |
|||
– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени обычных заявок.
7.Интенсивность выходящего потока приоритетных заявок, получивших отказ,
2
2 · 2 = 2
2 + 2
– ожидаемое количество приоритетных заявок в единицу времени, получающих отказ по причине занятости единственного канала обслуживанием другой приоритетной заявки.
8.Интенсивность выходящего потока обычных заявок, получивших отказ,
2 · ( 2 + 1)
(1 − 0) · 1 = (1 − ( 1 + 2 + 1)( 2 + 2)) · 1
– ожидаемое количество обычных заявок в единицу времени, получивших отказ по причине занятости канала.
53
9.Интенсивность выходящего потока обычных заявок, принятых на обслуживание, но не обслуженных по причине появления приоритетной заявки
1 · 2 · 2
обыч_прер · 1 = ( 1 + 2 + 1)( 2 + 2)
– количество обычных заявок в единицу времени, вытесненных из системы приоритетными заявками, т. е. заявок, принятых на обслуживание, но необслуженных.
Приведем пример расчета интенсивностей выходящих потоков
для представленного на рис. 9 случая: 1 = 4, 1 |
= 6 , 2 = 1 , |
|||
2 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Интенсивности выходящих потоков |
Обычные заявки |
|
Приоритетные заявки |
|
|
|
|
|
1 |
Обслуженных заявок |
1,745 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
2 |
Заявок, получивших отказ |
1,964 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
3 |
С прерванным обслуживанием |
0,291 |
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
ИТОГО |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Очевидно, сумма интенсивностей всех выходящих потоков равна интенсивности соответствующего входящего потока.
54
Глава 3. Процессы гибели и размножения
Пусть СМО имеет множество состояний { }, где = 0, 1, . . . , .
В частности, не исключается случай = ∞. По-прежнему спра-
ведливы допущения (18) о вероятностях переходов. При этом возможны только переходы вида
, +1 и +1, , где = 0, 1, . . . − 1.
Тогда процесс функционирования системы называют процессом гибели и размножения. Таким образом, для процессов гибели и размножения характерны только последовательные переходы слева направо или справа налево (рис. 10). Этот класс
Рис. 10. Процесс гибели и размножения
процессов впервые начали изучать в связи с исследованиями динамики численности популяций, распространения эпидемий и другими подобными задачами. Отсюда и закрепившееся за процессами название. Если возможны переходы только слева направо, процесс называют процессом чистого размножения . Если же возможны переходы только в обратном направлении, говорят о процессе гибели.
Запишем уравнения Колмогорова для произвольной системы ги-
55