Материал: Введение в теорию массового обслуживания

Аналогично найдем математическое ожидание 2:

дисперсию и среднее квадратичное отклонение :

√ √

( ) = ( 2) − [ ( )]2 = · , ( ) = ( ) = · .

Таким образом, ожидаемое количество событий за время равно

√

§ 1.4. Простейший нестационарный поток

Как было отмечено выше, стационарность потока является всего лишь допущением. По большей части реальные потоки не являются стационарными. Например, интенсивность потока отказов технического устройства, как правило, является функцией времени ( ) и на графике (рис. 2) представляет собой известную

U-образную кривую. Неисправности приборов случаются чаще всего в начале и в конце срока их эксплуатации. Любопытно, что и человек болеет чаще всего в молодости и в старости. Достоверную статистику по выходу из строя бытовой техники можно найти в соответствующих мастерских. Естественно, статистика отказов оборудования ведется на транспорте, на производстве и в других сферах деятельности человека.

Для нижней части U-образной кривой характерен пологий уча-

21

Рис. 2. Кривая отказов технического устройства

сток, на котором интенсивность отказов можно считать постоянной (участок AB на рис. 2).

Теперь вернемся к заголовку параграфа. Поскольку простейший поток мы определили как стационарный, заголовок может показаться противоречивым. Однако в данном случае речь идет всего лишь о новом определении: простейший нестационарный поток

– это ординарный поток без последействия. Простейший нестационарный поток также называют пуассоновским потоком.

Поскольку в нестационарном потоке вероятность появления k событий на интервале зависит не только от длины интервала, но и от его начала 0, в дальнейшем будем обозначать ( 0, ) ве-

роятность появления k событий на интервале ( 0, ) . Добавим к ординарности условие, соответствующее условию леммы из § 1.2.

22

Тогда

Подставим в равенство

0( , + ) + 1( , + ) + >1( , + ) = 1

выражения (9) и придем к равенству

Подставив (10) в равенство

0( 0, + ) = 0( 0, ) · 0( , + ),

после несложных преобразований получим:

Аналогично

∑

( 0, + ) = ( 0, ) · − ( , + ).

=0

Повторив рассуждения из § 1.2, получим отношение

( 0, + ) − ( 0, ) = − ( )·[ −1( 0, )− ( 0, )]+ ( ). (12)

23

Устремив в (11) и (12) к нулю, получим бесконечную систему

дифференциальных уравнений:

. . .

Введем вспомогательную функцию −1( 0, ) ≡ 0. Тогда

Умножим левые и правые части уравнений (14) на соответствующие степени и просуммируем их.

24

Проинтегрируем последнее равенство по :

∫

ln( ( 0, , )) − ( ( 0, 0, )) = ( − 1) · ( ) .

0

Из начальных условий:

Приравняв в (15) и (16) коэффициенты при соответствующих степенях , получим:

– средняя интенсивность входящего потока на интервале ( 0, ),

− ·

= 0 – длина интервала. Тогда ( 0, ) = и уравнение (17) примет вид

Таким образом, мы снова пришли к формуле Пуассона.

25