Материал: Высшая математика. Контрольно-измерительные материалы для аттестации обучающихся в технических вузах. Алейников С.М., Горяйнов В.В
4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1.Дифференциальное исчисление функции одной переменных
1. Угол |
с осью |
ОХ, образованный |
касательной к графику |
функции |
|
y = x2 + x в начале координат, равен… |
|
|
|
||
а) −π |
, |
б) π |
, |
в) |
π , |
4 |
|
4 |
|
|
2 |
г) −π |
, |
д) 0. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2. Производная функции y =5sin2 (3x2 + 4) равна… |
|
||||
а) y′=30sin (6x2 +8), |
|
б) y′=30xsin (3x2 + 4), |
|||
в) y′ =30xsin ( |
6x2 +8), |
|
г) y′=30xcos(6x2 +8), |
||
д) y′=30xcos(3x2 + 4).
3.Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = x3
вначале координат, равен…
а) −π , |
б) |
π , |
в) 0, |
3 |
|
4 |
|
г) π , |
д) |
π . |
|
6 |
|
2 |
|
4. Производная функции y = ln2 sin x равна… |
|
||
а) y′= lnsin x tgx , |
|
|
б) y′= 2 lnsin x cosx , |
в) y′= 2 lnsin x tgx , |
|
|
г) y′= lnsin x ctgx , |
д) y′= 2 lnsin x ctgx . |
|
|
|
5.Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = 
x
вточке A 1 ; 1 , равен…
4 2
а) |
π |
, |
б) |
π |
, |
в) 0, |
|
3 |
|
|
6 |
|
|
г) |
π |
, |
д) |
π . |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
46
6. Производная функции y = arctg2 ex равна…
а) y′= |
2arctgex |
|
б) y′= |
2exarctgex |
||||
1+ e2 x |
, |
|
|
, |
||||
1+ e2 x |
|
|||||||
в) y′= |
2exarctgex |
г) y′= |
2arctgex |
|
|
|||
1+ ex |
, |
1+ ex |
, |
|
||||
д) y |
′ |
|
2exarctgex |
|
|
|
|
|
|
= |
1+ x2 . |
|
|
|
|
||
7.Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = ex
вточке A(0;1), равен…
|
|
а) |
π |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
π , |
|
|
|
|
|
|
в) 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
π |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8. Производная функции y = arcsin(x2 + 2x ) равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
а) |
y |
′ |
|
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
|
|
б) y |
′ |
|
|
2x + 2x ln 2 |
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
1−(x2 + 2x )2 |
, |
|
= |
1−(x2 + 2x ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
y |
′ |
= |
|
|
|
2x + 2x ln 2 |
|
, |
|
г) y |
′ |
= |
|
2x + 2x ln 2 |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1+(x2 + 2x )2 |
|
|
1−(x2 + 2x )2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
д) y |
′ |
|
|
|
|
|
|
2x + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
1+(x2 + 2x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9. |
Угол с |
осью ОХ, |
образованный |
касательной к |
|
|
графику |
функции |
||||||||||||||||||||
y = |
1 |
x |
3 |
+ |
1 |
x |
2 |
+ |
1 |
x в начале координат, равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π , |
|
|
|
|
|
|
|
π , |
|
||||||
|
|
а) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
г) |
|
|
π |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Производная функции y =5cos2 (4x2 +3) равна… |
|
|||||||||||
|
|
а) y′= −40xsin (8x2 +6), |
|
|
|
б) y′= 40xsin (8x2 + 6), |
|||||||||
|
|
в) y′= −40sin (8x2 + 6), |
|
|
|
г) y′= −40xsin (4x2 +3), |
|||||||||
|
|
д) y′= 40xsin (4x2 +3). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
11. |
Угол с осью ОХ, образованный |
касательной к графику |
функции |
||||||||||
y = |
1 |
x |
4 |
+ |
1 |
x |
3 |
+ |
3x в начале координат, равен… |
|
|||||
4 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π , |
|
|
π , |
||
|
|
а) |
|
, |
|
б) |
|
в) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
г) 0, |
|
|
д) |
π . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
12. |
Производная функции y = e |
sin ln(x2 +2) |
равна… |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а)
б)
в)
г)
д)
y′= |
|
|
2xesin ln(x2 +2) |
sin ln (x2 + 2) |
, |
|||||||
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′= |
2xesin ln(x2 +2) |
cosln (x2 + 2) |
, |
|||||||||
x2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′ = |
|
2esin ln(x2 +2) cosln (x2 + 2) |
, |
|
|
|||||||
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′= |
|
|
2esin ln(x2 +2) sin ln (x2 + 2) |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
||
y′= |
2xesin ln(x2 +2) |
cos(x2 + 2) |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. lim tg7x |
=… |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
tg8x |
|
|
|
|
|
|
а) − |
7 , |
б) |
8 |
, |
в) |
7 |
, |
|
8 |
|
7 |
8 . |
|
8 |
|
г) 1, |
|
д) − |
|
|
|
||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
14. lim |
|
x4 −6x |
= |
|
… |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ x3 − x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 6, |
|
в) –6, |
|
г) –1, |
|
|
|
|
|
|
д) 4. |
|
|
|||
15. lim1−cos4x |
|
=… |
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) –1, |
в) 2, |
||
г) –2, |
|
|
|
|
|
|
д) 0. |
|
|
|||
16. lim |
|
x4 − x + 2x6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=… |
|
|
|
|
|
|
x7 −3x4 |
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 0, |
|
в) –6, |
|
г) –1, |
|
|
|
|
|
|
д) 4. |
|
|
|||
17. lim sin 7x =… |
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
а) 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
, |
в) –1, |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
г) − |
, |
|
|
|
|
|
д) ∞. |
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. lim |
|
|
1− x −1 |
|
=… |
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
а) − |
, |
|
|
|
|
|
б) |
, |
в) 0, |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
г) –1, |
|
|
|
|
|
|
д) |
1 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
19. lim |
|
|
3sin 2x |
|
|
=… |
|
|
|
|||
11x2 −7x |
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
6 |
|
|
||||||
а) 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
, |
в) –3, |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 . |
|
|
г) − |
, |
|
|
|
|
|
д) − |
|
||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
20. lim 3x2 −5x −8 =… x→−1 3x −7x2 +10
а) − |
11 , |
|
|
|
|
б) |
51 |
, |
в) − |
77 |
, |
||
|
17 |
|
|
|
|
|
77 |
|
|
51 |
|
||
г) 17 , |
|
|
|
д) |
77 . |
|
|
|
|||||
|
11 |
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
||
21. |
lim (x +5) |
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x+4 |
=… |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) e12 , |
|
|
|
б) e9 , |
|
в) e−12 , |
|
||||||
г) e−3 , |
|
|
|
д) e−9 . |
|
|
|
||||||
22. |
lim |
|
x5 −2x2 + x3 |
=… |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ x2 +10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ x6 −3x5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) 1, |
|
|
|
|
|
|
б) 6, |
|
в) 0, |
|
|
||
г) –1, |
|
|
|
д) –3. |
|
|
|
|
|||||
23. |
lim |
3x −31 |
−5x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
=… |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
3x +14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) e15 , |
б) e75 , |
в) e−12 , |
|
г) e−3 , |
д) e−5 . |
|
|
24. lim |
11x5 −8x6 + x10 |
=… |
|
x→∞ |
3x9 −4x7 + 2 |
|
|
а) 1, |
|
б) –3, |
в) 0, |
г) –1, |
д) ∞. |
25. Уравнение касательной |
к графику функции y = x5 + 2 в точке |
A(1;3)… |
|
а) y +5x + 6 = 0 , |
б) y −5x −6 = 0, |
в) y −5x + 2 = 0 , |
г) y +5x + 2 = 0 , |
д) y −5x + 6 = 0 . |
|
26. Уравнение нормали к графику функции y = x5 + 2 в точке A(1;3)…
а) 5y + x − 4 = 0 , |
б) 5y − x − 4 = 0 , |
в) 5y + x −16 = 0 , |
г) y +5x + 4 = 0 , |
д) 5y + x +16 = 0 . |
|
|
50 |