Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 4.4. Найти дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг z <1 на единичный круг

ω <1.

Решение. Пусть

z0 — точка круга

<1, переходящая в

точку

ω = 0 .

Тогда

точка z0′ ,

симметричная

точке

относительно

окружности

=1, должна перейти в

точку

ω = ∞ , симметричную точке ω = 0

относительно окружности

=1 . Выразим z0′

через z0 . Так как z0

и z0′ лежат на одном

луче,

исходящем

из

точки

z = 0 ,

то

z0′ = kz0 ,

где

—

положительное число. В силу (1.9)

z0′

=1, т.е.

2 =1,

откуда k =1 z0

z0′ = kz0 = z0

z0 2 = z0 (z0 z0 ) =1 z0 .

Дробно-линейная

функция,

удовлетворяющая

условиям

ω(z0 ) = 0 , ω(1

z0 ) = ∞, имеет вид

ω = A

z − z

z −

= −Az0

z −1 z0

1− z0 z

где А — комплексная постоянная. Константа А не

произвольна, так как точки окружности

=1 отображаются в

точки окружности

=1 . В

частности,

при z =1.

Поэтому

1−

1 =

−Az0

1− z0

= eiϕ

так как

1−

. Следовательно,

−Az0

и искомое

отображение имеет вид

z −

ω = eiϕ

(1.10)

1− z0 z

Здесь также отображение определено не однозначно. На рис. 4.5 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости ω . Прообразами диаметров (рис. 4.5, б) служат дуги

окружностей, перпендикулярных окружности z =1 (рис. 4.5, а); прообразами окружностей ω = r , r <1, являются также

Рис. 4.5

окружности (но не концентрические) плоскости переменного z.

4.2. Степенная функция. Понятие римановой поверхности

Рассмотрим степенную функцию
ω = zn ,	(2.1)
где n — натуральное число. Производная	ω′ = nzn−1
существует и отлична от нуля во всех точках z ≠ 0 , z ≠ ∞.

Поэтому отображение, осуществляемое функцией (2.1),

является конформным во всех точках,		кроме z = 0 и	z = ∞.
Если записать переменные z	и ω в	показательной	форме,
z = reiϕ , ω = ρeiθ , то (10.1) приводит к равенствам
ρ = rn ,	θ = nϕ

(мы уже рассматривали отображение (2.1) для случая n = 2 в


примере 4.1). Отсюда видно, что окружности			z	= r переходят
примере 4.1). Отсюда видно, что окружности			z	= r переходят
в окружности	ω	= rn , угол 0 <ϕ <α , где		α < 2π n , с
в окружности	ω	= rn , угол 0 <ϕ <α , где		α < 2π n , с

вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 <θ < nα па плоскости ω . Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (2.1) не является конформным и в точке z = ∞.

Пусть точки z	и	z	2		таковы,	что z	2	= z ei2π n , n ≥ 2 .
1			2				2	1
Легко видеть, что	z	≠ z		2	, и z	n = z nei2π = z n			. Поэтому
	1			2	2	1		1

отображение (2.1) не является однолистным во всей комплексной плоскости , но является таковым внутри любого угла величиной α < 2πn с вершиной в начале

координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного

называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел ω .

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z ), были однозначными. Функция Arg z является

многозначной:

Arg z = arg z +2πk ,

где arg z — главное значение аргумента и k — любое целое

число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция ω = f (z) отображает область D на область Е. Обратной к функции ω = f (z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(ω) , определенная на

области Е, которая каждому комплексному числу ω E ставит в соответствие все комплексные числа z D , такие что f (z) =ω .

Другими словами, функция, обратная к ω = f (z) , — это

правило, по которому каждой точке ω E соответствуют все ее прообразы z D .

Если функция ω = f (z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если ω = f (z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции ω = zn является многозначная функция z = n ω : каждому значению ω , отличному от 0 и ∞, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых

формулой (3.12). Числа 0

∞ имеют

по одному

корню:

n 0 = 0 , n ∞ = ∞.

Пусть

функция

ω = f (z)

однолистна и

Теорема 4.5.

аналитична в области D, отображает D на область Е и

′

Тогда

обратная

функция

z = g(ω)

также

f (z) ≠ 0 .

аналитична в области Е и

′

(2.2)

′

g (ω) =

(z)

z D

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку

и возьмем приращение z ≠ 0 .

Тогда,

в силу однолистности

функции

ω = f (z) ,

соответствующее

приращение

ω = f (z + z) − f (z) также не равно нулю. Поэтому

g(ω − ω) − g(ω)

Так как функция ω = f (z)

аналитична, то она непрерывна в

точке z.

Следовательно,

ω → 0

при

z → 0 , а

силу

взаимной

однозначности

верно и

обратное:

z → 0

при

ω → 0 . Отсюда

′	z		1			1
g (ω) = lim		=			=		,
g (ω) = lim	ω	=	lim	ω	=	′	,
ω→0				ω

z→0z

что и требовалось доказать.

Аргументом функции z = g(ω) , обратной ω = f (z) ,

является переменная ω . Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и ω и пишут ω = g(z) . Например, обратная

функция к ω = zn запишется как ω = n z .

Рассмотрим подробнее функцию ω = n z . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция

Рис. 4.6, а

ω = n z станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D0 , D1,…, Dn−1 комплексной плоскости, разрезанной

вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 4.6, а показан случай n = 4 ). Затем тот край разреза области D0 , к которому мы подходим снизу от луча

ОХ (т.е. полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)