Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения ω = a1z +b1 данное свойство имеет место.

Пусть теперь c ≠ 0 . Воспользовавшись равенством (1.3),

отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:

1) ω1 = z +G ; 2) ω2 =1ω ; 3) ω = E + Fω2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробнолинейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4.3), т.е. если OA → R , то OA′ тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если OA → 0 , то OA′ → ∞. Поэтому для точки О

симметричной будет бесконечно

понимается обычная симметрия относительно прямой.

Рис. 4.3

57

Лемма 4.1. Для того чтобы точки А и A′ были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и A′, была перпендикулярна Г (рис. 4.3).

Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и A′ симметричны относительно окружности Г. Проведем

касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г′ перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г′ — прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки А и A′ таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 4.4). Докажем, что А и A′ симметричны относительно Г. Так как прямая AA′ перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, A′ лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и A′ лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром AA′ не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г′ через А и A′ с радиусом R′< ∞ . Пусть В — точка пересечения Г и Г′. По условию, Г и Г′ пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г′. По той же теореме о секущей и

58

симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 4.1 в случае R < ∞. Если R = ∞, то рассуждение существенно упрощается.

Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 4.3. При дробно-линейном отображении (1.6) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство. Пусть точки z1 и z2 симметричны

относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (1.6) Г перейдет в кривую γ , которая по теореме

1.4 также является окружностью; точки z1 и z2 перейдут в точки ω1 и ω2 . Надо доказать, что ω1 и ω2 симметричны относительно γ . Возьмем любую окружность γ′, проходящую через ω1 и ω2 ,и рассмотрим ее прообраз Г′ при отображении

(1.6) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в γ′)- Для этого выразим z из уравнения (1.6):

z = −cdωω−+ab при ad −bc ≠ 0 .

Мы видим, что Г′ получается из γ′ также дробно-линейным отображением. Поскольку γ′ является окружностью, то по теореме 4.3 Г′ — тоже окружность. Так как Г′ проходит через точки z1 и z2 , симметричные относительно Г, то по

перпендикулярна γ . По лемме 4.1 отсюда следует, что точки ω1 и ω2 симметричны относительно γ и доказательство завершено.

59

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Пример 4.3. Найти дробно-линейную функцию,

теореме 4.3 точка z0 , симметричная точке z0 относительно действительной оси, должна переходить в точку ω = ∞ , симметричную точке ω = 0 относительно окружности ω =1 .

где А — комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне

Мы видим, что существует бесконечное множество дробнолинейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа ϕ и комплексного числа z0 .

60