Документ: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н, страницы 66-70

области D1 : нижний край разреза области D1 склеим с верхним краем разреза области D2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза Dn−2 с верхним краем разреза Dn−1 .

Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области Dn−1 (на рис. 4.6, а это D3 ) с верхним краем разреза

области D0 . В трехмерном пространстве такую склейку

невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 4.6, б.

Рис. 4.6, б

Она называется римановой поверхностью функции ω = n z .

Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и ∞, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки x > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ∞. Все листы римановой поверхности

66

считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ∞.

Определим

теперь

функцию

ω = n z

на построенной

римановой поверхности.

Напомним, что если z = reiϕ , то все

корни n-й степени из z определяются формулой (2.12):

ω = n z = n

ϕ +2πk

+i sin

ϕ +2πk

k = 0,1,…, n

−1.

r cos

n

,

(2.3)

ϕ в

Угол

этой формуле можно выбирать из любого

промежутка

длины

2π ;

нам удобно

предполагать,

что

0 ≤ϕ < 2π .

Точкам

z = reiϕ ,

лежащим на листе

D

и склейке

D

с

0

Dn−1 ,

ставим в соответствие значение корня с k = 0 ; точкам,

лежащим на листе D1

и склейке D1

с D0 , — значение корня с

k =1.

Вообще,

точкам,

лежащим на Dk , при 1 ≤ k ≤ n −1,

и

склейке Dk ,

с Dk −1 , соответствует значение корня с данным k .

Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.

Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную

плоскость. Действительно,					лист Dk будет отображаться в
угол	2πk	<ϕ <	2π(k +1)	, а	склейки отобразятся в лучи,
	n		n

соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.

Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе Dk с разрезом, то непрерывность

в этой точке прямо следует из формулы (2.3) с фиксированным k . Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из

точек, расположенных над окружностью	z	=1	комплексной

плоскости. Начнем обходить этот контур			с точки z,
67

расположенной на верхнем крае разреза листа D0 . Так как r =1, ϕ = 0 , k = 0 , то ω = n z =1 . При обходе первого витка

контура на листе D		будет ϕ → 2π и n z → cos	2π	+i sin	2π	.

	0		n		n

Перейдя по склейке на лист D1 , мы получим, по определению,
n z = cos ϕ +2π	+i sin ϕ +2π (так как k =1). В частности, при
n		n
ϕ = 0 будет то	же	самое значение корня, к	которому		мы

приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D0 . Значит, в точках склейки D0 c D1 функция n z будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня

и при переходе с Dk −1			на Dk	при 1 ≤ k ≤ n −1. Наконец, обходя
контур по листу Dn−1		и приближаясь к нижнему краю разреза,
получим k = n −1 , ϕ → 2π , и
n z → cos	2π + 2π(n −1)		+i sin	2π + 2π(n −1)	= cos 2π +i sin 2π =1 ,

	n			n

т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D0 . Таким образом, функция n z будет

непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ∞).

Возьмем любую окружность z = r на комплексной

плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ∞. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ∞ называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ≠ 0 , z ≠ ∞, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности

68

образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.

Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F(z) , определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F(z) в этой

точке.

Многозначная функция F(z) является однозначной и

аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по

лестнице). Например, кольцо 1 < z < 2 нельзя без разрывов

расположить на римановой поверхности функции F(z) = n z ,

n ≥ 2 , поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в

D n различных ветвей функции n z ). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Пример 4.5. Выделить регулярную ветвь f (z) функции

ω = 4 z ,		задаваемую				условием			f (1) = i , в области
	iϕ	: −	3π	<ϕ <	π		. Найти	f (−1) .
D = z = e			2		2

69

Решение. Область D является комплексной плоскостью с

разрезом

по

мнимой

полуоси

y ≥ 0 .

Значит,

выделение

регулярной ветви в D возможно. По формуле (2.3)

F(z) = 4

z = 4

r

ϕ +2πk

+i sin

ϕ +2πk

,

cos

4

k = 0,1, 2,3,

−

3π <

ϕ

< π .

Чтобы выделить

ветвь f (z) ,

2

нужно

найти

подходящее

значение k . Так f (1) = i , то подставляя ϕ = 0 ,

r =1, получим

i = cos

2πk

+i sin

2πk

,

4

откуда следует, что k =1. Итак, нужная ветвь

f (z) = 4 r

ϕ +2π

+i sin

ϕ +2π

−

3π

<ϕ <

π

.

cos

4

,

2

В частности,

f (−1) = 4

−π +2π

+i sin

−π +2π

2

+i

2

1 cos

=

.

4

2

Мы проводили построение римановой поверхности

функции

ω = n z , разрезая комплексную плоскость

вдоль

положительной полуоси. Отметим, что выбор линии разреза не является принципиальным: аналогичную конструкцию можно было проделать, разрезая , например, вдоль любого луча, исходящего из начала координат.

4.3. Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция ez определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = x +iy

ez = ex+iy = ex (cos y +i sin y) .

(3.1)

70

Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Смотрите также: