Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Заметим, что на каждом из трех этапов линейного отображения (преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые переходят в прямые, а окружности — в окружности. Следовательно, этими свойствами обладает и линейное отображение (1.1).

2. Дробно-линейная функция. Перейдем к изучению

дробно - линейной функции, определяемой равенством
ω = az +b	,	(1.2)
cz +d

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

lim	az +b = a	,	lim az +b	= ∞,
z→∞	cz +d c		z→−d c cz +d
то естественно определить			ω(∞) = a c , ω(−d c) = ∞ .

Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости .

Если c = 0 , то ω = da z + db и дробно-линейная функция

сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что c ≠ 0 .

Умножим числитель и знаменатель дроби (1.2) на с и

добавим в числителе	+ad −ad .	Тогда	дробь (1.2)		можно
представить в виде
ω = az +b = a(cz +d) +(bc −ad) = a +			(bc −ad	.	(1.3)
ω = az +b = a(cz +d) +(bc −ad) = a +				.	(1.3)
cz +d	c(cz +d)	c c(cz +d)
Если bc −ad = 0 , то	ω = a c и	функция (1.2) сводится к

постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия c ≠ 0, bc −ad ≠ 0 .

(1.4)

Покажем, что дробно-линейная функция (1.2) осуществляет

взаимно-однозначное отображение	на	. С этой целью
решим уравнение (1.2) относительно	z (это	возможно при
z ≠ −d c , z ≠ ∞, ω ≠ a c , ω ≠ ∞ ):


z = −dω +b	= − d	+	bc −ad		.
			c(cω −a)
cω −a	c
Поэтому каждое значение ω ≠ a c				и ω ≠ ∞ имеет только
один прообраз z ≠ −d c и	z ≠ ∞. Но			в силу определения

значению ω = ac соответствует z = ∞, а значению ω = ∞ —

величина z = −d	c .	Итак,	каждая точка			ω	имеет только
один прообраз z		, что и требовалось доказать.
один прообраз z		, что и требовалось доказать.
Установим теперь конформность отображения (1.2). Так
как				ab −bc
			ω′ =	ab −bc
					,
				(cz +d)2	,
то при z ≠ −d c	и	z ≠ ∞	производная			ω′ существует и не

равна нулю. По теореме 4.1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = −dc и z = ∞ нам

понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке z = ∞ понимается угол между образами этих линий при отображении

ω =	1 в начале координат.
	z
	Пример 4.2. Найти угол между ветвью параболы y = x2 ,
x ≥ 0 , и лучем y =		x	в точке z = ∞ (рис. 4.2, а).
		3

	Решение. Любую точку параболы можно записать в виде
			z = reiϕ(r ) ,
причем ϕ(r) →π 2		при r → ∞ . Любая точка луча имеет вид

z = reiπ6 . При отображении ω = 1z точки параболы перейдут в

ω =1/ z = (1/ r)e−iϕ(r )

При r → ∞ будет ω =1/ r → 0 , arg ω = −ϕ(r) → −π / 2 . Значит, ветвь параболы отобразится в кривую, касающуюся оси OY (рис. 4.2, б). Для точек луча ω = 1z = 1r e−iϕ(r ) .

Рис. 4.2

Значит, луч отобразится в луч, симметричный исходному лучу относительно оси ОХ. Угол между образами кривых в плоскости переменного ω равен, очевидно, π3; это и будет,

по определению, угол между исходными кривыми в точке z = ∞.

Отображение называется конформным в точке z = ∞, если оно сохраняет углы между любыми двумя кривыми, проходящими через эту точку.

Теперь	мы	готовы к	рассмотрению	конформности
отображения (1.2) в точках z = −d c и z = ∞.
Пусть	γ1 и	γ2 — два	пути, проходящие через точку
z = −d c и	пересекающиеся		в этой точке	под углом α .

Дробно-линейное отображение (1.2) переведет их в кривые γ1′ и γ2′ пересекающиеся в точке ω = ∞ . Чтобы найти угол между ними, следует, по определению, отобразить γ1′ и γ2′ c

помощью функции W =1 ω в кривые									γ1′′, γ2′′ и определить
угол между γ1′′ и γ2′′ точке W = 0 . Отображение γ1										и γ2	в γ1′′ и
γ2′′ имеет вид
		W =	1			= cz +d .					(1.5)
		W =	ω			= cz +d .					(1.5)
Производная			ω			az +b
Производная		dW =				bc −ad
		dW =				bc −ad
		dz			(az +b)2
в точке	z = −d c	существует					и		отлична	от	нуля.
Следовательно, угол между γ1′′ и γ2′′							в точке W = 0 равен α ;
значит, угол между γ1′′		и γ2′′		также равен α . Таким образом,
отображение (1.2) сохраняет						угол между кривыми в точке
z = −d c .	Растяжение	в этой				точке		при отображении (1.2)

равно ∞ по любому направлению и, следовательно, не зависит от направления. Поэтому отображение (1.2) является конформным в точке z = −dc .

Рассмотрим конформность в точке

z = ∞. Пусть кривые

γ1 и γ2 пересекаются

точке

z = ∞

под углом α . Это

означает, что образы γ1′

и γ2′ этих кривых при отображении

W =

1 пересекаются под углом α в точке W = 0.

Обозначим через γ1′′ и γ2′′ кривые, в которые переходят γ1

и γ2

при отображении (1.2). Надо доказать, что угол между γ1′′

и γ2′′

в точке ω = a c (образе точки z = ∞)

равен α . С этой

целью найдем отображение, переводящее γ1′

и γ2′ в γ1′′ и γ2′′

Выразим z из равенства W =1 z и подставим в (1.2):

= a +bW .

z =

ω =

c +dW

Производная этого отображения по переменному W равна

ω′ = bc −ad 2 ; (c +dW )

в точке W = 0 она существует и отлична от нуля. Поэтому угол между γ1′ и γ2′ в точке W = 0 равен углу между γ1′′ и γ2′′ в точке

ω = ac . Это и означает, по определению, что отображение

(1.2) является конформным в точке z = ∞.

Полученные результаты сформулируем в виде

следующей теоремы.
	Теорема 4.1. Дробно-линейная функция
	ω =	az +b	, ad −bc ≠ 0 , ω(∞) = a c , ω(−d c) = ∞ ,			(1.6)
	ω =	cz +d	, ad −bc ≠ 0 , ω(∞) = a c , ω(−d c) = ∞ ,			(1.6)
		cz +d
осуществляет			взаимно-однозначное	и	конформное
отображение расширенной комплексной плоскости						на всю
отображение расширенной комплексной плоскости						на всю
	.
	.

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 4.1, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме

4.1.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.

Теорема 4.2. При дробно-линейном отображении (1.6) окружности всегда переходят в окружности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)

Доказательство. Рассмотрим уравнение

A(x2 + y2 ) + Bx +Cy + D = 0, (1.7)

где А, В, С, D — действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Bx +Cy + D = 0 , т.е. уравнение прямой. Если A ≠ 0 ,

то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)