Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

4.4. Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция ω = za , где a =α +iβ —

фиксированное комплексное число, определяется соотношением

принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при β ≠ 0 функция zα будет бесконечнозначной.

Пример 4.6. Найти все значения функции ω = zi в точке z =i .

Решение. Поскольку Lni = ln1+i(π2 +2πk) , то

ii = ei ln i = ei2 (π 2+2πk ) = e−π 2−2πk , k = 0, ±1, ±2,…

В данном случае все искомые значения функции оказались действительными.

При β = 0 получаем

za = eα ln r eiα (ϕ+2πk ) .

(4.1)

Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами θk =α(ϕ +2πk) . Если α — рациональное

число, т.е. оно представимо несократимой дробью α = mn (m и

n — целые числа), то среди θk имеется лишь n значений, определяющих различные значения zα :

76

При k = n, n +1,… мы получим значения θk , отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2π . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек zα . Итак, при a = mn формула (4.1) дает (мы пользуемся также равенством

k = 0,1, 2,…, n −1.

Сравнивая эту формулу с (2.12) мы видим, что

zmn = n zm .

Итак, для рациональных показателей a функция za является

и, следовательно, α — рациональное число, что противоречит сделанному предположению.) Поэтому для иррациональных

показателей a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.

Общая степенная функция ω = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь

ealn z = ea(ln z +i arg z) ,

выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В

77

силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

(za )′ = (ea f ( z) )′ = ea f ( z) af ′(z) = za a 1z = aza−1 ,

где f (z) — регулярная ветвь логарифмической функции Ln z .

Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

(za )′ = aza−1 .

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера (2.14) следует, что

Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного

переменного. Из периодичности функции ez следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2π , a tgz и ctgz

— с периодом π . Функция sin z нечетна, a cos z — четна. Действительно,

78

Аналогично доказывается четность функции cos z (докажите!). Для функций, определенных равенствами (4.2), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin2 z +cos2 z =1, sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2

и т.д. Все эти соотношения вытекают из (4.2). Докажем, например, последнюю формулу:

sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2 =

причем имеют место обычные формулы дифференцирования: (sin z)′ = cos z , (cos z)′ = −sin z .

Докажем, например, формулу для производной sin z :

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sin z и cos z могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

79

тригонометрические функции (4.2) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (4.2) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для ω = Arc cos z . Из определения этой функции имеем

перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с " −". Значит, и среди значений Arc cos z будут значения как с "+", так и с " −" перед логарифмом. Поэтому знак " −" можно не писать:

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и

cth z, определяемые равенствами

80