Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н
вместо х и у подставить функции x(t) и y(t), а вместо dx и dy — дифференциалы этих функций dx = х'(t)dt и dy = y'(t)dt. Тогда интегралы в правой части (1.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t по отрезку (α, β) :
β |
|
β |
|
′ |
′ |
′ |
|
∫(u(z(t))x (t) −v(z(t)) y (t))dt +i∫(v(z(t))x (t) + |
|
||
α |
|
α |
|
|
|
′ |
(1.4) |
|
|
+u(z(t)) y (t))dt |
|
Это выражение легко преобразуется к виду
β |
|
β |
|
′ |
′ |
|
′ |
∫(u(z(t)) +iv(z(t)))(x (t) +iy (t))dt = ∫ |
f (z(t))z (t)dt |
||
α |
|
α |
|
Теперь мы готовы дать следующее определение.
Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f(z) называется число, обозначаемое ∫ f (z)dz и
вычисляемое по формуле |
|
Г |
β |
|
|
|
|
|
|
′ |
(1.5) |
∫ f (z)dz = ∫ f (z(t))z (t)dt |
||
Г |
α |
|
где z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β , — уравнение кривой Г, a z'(t) =
= x'(t)+iy'(t).
Пример 1.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = =(z - а)п по окружности радиуса r с центром а, направление обхода которой — против часовой стрелки.
Решение. Уравнение окружности z −a = r будет z −a = reit , или
z(t) = а + r(cost + i sint), 0 ≤ t ≤ 2π .
86
При изменении t от 0 до 2π точка z(t) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда
f(z(t)) = (z(t) -а)п = rn(cost + i sint)n; z'(t) = r(— sint + i cost) = ir(cos t + i sint).
Применяя равенство (1.5) и формулу Муавра (2.12), получаем
∫(z −a)ndz = |
2∫π irn+1 (cos t +i sin t)n+1 dt = |
||
Г |
|
0 |
|
= irn+1 |
2∫π cos(n +1)tdt +i2rn+1 |
2∫π sin(n +1)tdt |
|
|
0 |
|
0 |
При n ≠ −1 оба последних интеграла равны нулю. При п = −1 имеем
∫ |
1 |
dz = i |
2∫π dt = i2π |
(1.6) |
|
z −a |
|||||
Γ |
|
0 |
|
Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:
|
∫ |
|
0 |
при |
n ≠ −1, |
(1.7) |
||
|
(z −a)n dz = |
|
|
|
||||
|
z−a |
|
=r |
2πi |
при |
n = −1. |
|
|
|
|
|
||||||
Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса r окружности.
Пример 1.2. Вычислить интеграл от функции f(z) = 1 по гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке b.
Решение. Пусть кривая Г задается уравнением z(t) = =x(t)+ iy(t), α ≤ t ≤ β , причем а = z(α ), b = z( β ). Используя
формулу (1.5), а также формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим
87
|
β |
β |
β |
||||
∫1dz = ∫z′(t)dt = ∫x′(t)dt +i∫y′(t)dt = x(t) |
|
αβ +iy(t) |
|
αβ = |
|||
|
|
||||||
Γ |
α |
α |
α |
||||
= x(β) − x(α) +i( y(β) − y(α)) = z(β) − z(α) = b −a |
|||||||
Мы видим, |
что интеграл |
∫1dz не зависит от вида пути Г, |
|||||
|
|
|
Γ |
||||
соединяющего точки а и b, а зависит только от концевых точек.
Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.
Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков
точками z0 = a, |
z1, |
…, zn−1, |
zn = b, занумерованными в |
|
||||
|
|
|
|
направлении движения от |
|
|||
|
|
|
начальной точки к конечной (рис. |
|||||
|
|
|
|
5.1). Обозначим z1 − z0 = |
|
|||
|
|
|
= |
z1,..., zk |
− zk −1 = |
zk , zn − zn−1 = |
zn |
|
|
|
|
(Число |
zk изображается векто- |
||||
|
|
|
ром, идущим из точки zk −1 в zk .) |
|||||
|
|
|
|
На каждом участке ( zk −1, zk ) |
|
|||
|
Рис. 5.1 |
кривой выберем произвольную |
||||||
|
|
точку ζk и составим сумму |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
f (ζ1 ) z1 + f (ζ2 ) z2 +... + f (ζn ) |
zn = ∑ f (ζk ) |
zk |
|
|||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
Эта |
сумма |
|
называется |
интегральной |
суммой. |
|||
Обозначим |
через |
λ |
длину |
наибольшего |
из участков, |
на |
||
которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой λ → 0 (при этом n → ∞).
88
Предел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интеграломот функции f(z) по кривой Г и
обозначается ∫ f (z)dz :
Γ
|
n |
|
∫ f (z)dz = limλ→0 |
∑ f (ζk ) zk |
(1.8) |
Γ |
k =1 |
|
Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (1.3) и, следовательно, эквивалентно определению (1.5), данному выше.
Установим основные свойства интеграла ∫ f (z)dz .
Γ
1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных а и
b
∫(af (z) +bg(z))dz = a∫ f (z)dz +b∫g(z)dz
Γ Γ Γ
Это свойство следует из равенства (1.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.
2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Г1 и Г2, то
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz
ΓΓ1 Γ2
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, b разбита точкой с на две части: кривую Г1 с концами а, с и кривую Г2 с концами с, b. Пусть Г задается уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β , причем а = z(α ), b = z( β ), с = z(γ) . Тогда
уравнения кривых Г1 и Г2 будут z = z(t), где α ≤ t ≤γ |
для Г1 и |
|
γ ≤ t ≤ β |
для Г2. Применяя определение |
(1.5) и |
соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим
89
|
β |
γ |
β |
|
∫ f (z)dz = ∫ |
′ |
′ |
′ |
|
f (z(t))z (t)dt = ∫ |
f (z(t))z (t)dt + ∫ f (z(t))z (t)dt = |
|||
Γ |
α |
α |
γ |
|
|
|
|
= ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz |
|
|
|
|
Γ1 |
Γ2 |
что и требовалось доказать.
Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и по кусочно гладким, т.е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.
3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а и b задается уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β . Кривую, состоящую из
тех же точек, что и Г, но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим через Г-. Тогда Г- задается уравнением z = z1(t), где z1(t) = z(α + β −t ),α ≤ t ≤ β . Действительно, введем новое переменное τ =α + β −t . При из-
менении t от α до β |
переменное τ |
изменяется от β до α . |
|||
Следовательно, точка z(τ) пробежит кривую Г-. |
|
||||
Легко |
видеть, |
что |
z1′(t) = zτ′(τ)(α + β −t)′t = −zτ′(τ) , |
||
dt = −dτ . |
Используя |
определение |
(1.5) и |
переходя к |
|
переменному τ , получим
ββ
∫f (z)dz = ∫ f (z1 (t))z1′(t)dt = ∫ f (z(τ))(−zτ′(τ))(−dτ) =
Γ− |
α |
α |
β
|
′ |
= −∫ f (z(τ))z (τ)dτ = −∫ f (z)dz . |
|
α |
Γ |
Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла (1.8) это свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все приращения zk меняют знак.)
90