Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

f(z) будет аналитической в двусвязной области, ограниченной этими контурами.

Пример 1.5. Функция f(z) = l/z аналитична во всей комплексной плоскости , за исключением точки z = 0. Возьмем в

качестве Г окружность z =1. В силу (1.6)

Значит, требование односвязности в теореме 1.1 существенно. Из формулы (2.6) следует, что если проинтегрировать функцию 1/z по верхней и по нижней полуокружностям, ведущим из точки (-1,0) в (1,0), то результат будет различным.

В то же время, деформируя окружность z =1 так, чтобы она

не пересекала точку z = 0 (в частности, изменяя ее радиус), мы будем получать все то же значение интеграла 2πi . Если же проинтегрировать функцию 1/z по замкнутому контуру, не содержащему внутри себя точку z = 0, то интеграл будет равен нулю.

5.3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница

Пусть f(z) — аналитическая функция в области D. Аналитическая в области D функция F(z) называется

первообразной функции f(z), если F'(z) = f(z) для всех точек z из

D. Ясно, что если к первообразной F(z) прибавить произвольную постоянную С, то снова получится первообразная F(z) + С. Покажем, что никаких других первообразных функция f(z) не имеет, а именно: все первообразные функции f(z) получаются из какой-либо одной первообразной F(z) прибавлением произвольных постоянных С. Другими словами, любые две первообразные F1(z) и F2(z) одной и той же функции f(z) отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

96

Действительно, по определению первообразной, функции F1(z), F2(z), а следовательно, и их разность

функции и и v не зависят от x. В силу условий Коши-Римана

от у. Таким образом, функции u,v, а вместе с ними и функция ϕ являются постоянными, иF1(Z)=F2(Z) + C.

Итак, множество всех первообразных функции f(z) записывается в виде F(z) + С, где F(z) - одна из первообразных и С - произвольная постоянная. Это множество называется

неопределенным интегралом от f(z) и обозначается ∫ f (z)dz .

Таким образом,

Пусть f(z) — аналитическая функция в односвязной области D. Возьмем две точки z0 и z в D ирассмотрим интеграл

вычисленный по какой-либо кривой, идущей от z0 к z и лежащей в D. Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора пути интегрирования (следствие

2.3). Если точка z0 фиксирована, то интеграл (3.2) зависит только от точки z и, следовательно, является в D однозначной функцией переменного z.

97

Теорема 3.1. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и z0 — некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция Ф(z), определенная равенством (17.2), также аналитична в D и является первообразной функции f(z).

Доказательство. Возьмем в D произвольную точку z (рис. 34). Функция f является аналитической, а следовательно, и непрерывной в z. Поэтому для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что окрестность точки z радиуса δ лежит в D и

= z+Δ∫z f (ζ )dζ − f (z)z+Δ∫z dζ + f (z) z =

= z+Δ∫z ( f (ζ ) − f (z))dζ + f (z) z

z

Перенесем слагаемое f(z) z влево и разделим обе части равенства на z :

98

В качестве пути интегрирования от z до z + z выберем прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки (рис. 5.4). Воспользуемся теперь свойством 4° интеграла и неравенством

(3.3):

z0

где F(z) — любая первообразная функции f(z), z0 u z1 — любые точки из D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежащему в D.

Доказательство. Пусть F(z) — какая-либо первообразная функции f(z). Поскольку функция Ф(z), определенная в (3.2), также является первообразной для f(z), то

F(z) = Ф(z) + С, т.е.

99

z1

F(z) = ∫ f (ζ )dζ +C,

z0

где С — некоторая постоянная. Положив в этом равенстве z=z0, получим F(z0) = С. Подставляя в ту же формулу z = z1 и найденное значение С, имеем

z1

F(z1 ) = ∫ f (ζ )dζ + F(z0 ),

z0

откуда следует (3.4).

Таким образом, определение первообразной и формула Ньютона-Лейбница для функций действительного переменного и для аналитических функций комплексного переменного полностью совпадают. Благодаря этому интегралы от элементарных функций комплексного переменного вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. В частности, остается в силе известная таблица первообразных.

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления интегралов. Однако следует помнить о границах применимости этой формулы: область аналитичности D

функции f(z) должна быть односвязной. В противном случае интеграл (3.2) может зависеть от пути интегрирования, и тогда определяемая им функция Ф(z) будет многозначной.

Для иллюстрации рассмотрим функцию f(z) = 1/z, аналитическую всюду, кроме изолированной особой точки z=0. Пусть D — комплексная плоскость с выброшенными точками отрицательной полуоси. Это односвязная область, и главная ветвь логарифма

ln z = ln z +i arg z, −π < arg z <π,

100