Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

аналогичные выкладки, придем к (4.4) при п = 2 и т.д. Теорема 4.2 доказана.

Примечание. Любую гармоническую функцию в односвязной области D можно рассматривать как действительную часть аналитической в D функции. Поэтому, согласно теореме 4.2, гармоническая функция имеет частные

106

производные всех порядков, и эти производные, в свою очередь, являются гармоническими функциями.

Теорема 4.3 (теорема о среднем). Пусть функция f(z)

анали-тична в замкнутом круге z − z0 ≤ R радиуса R с

центром z0. Тогда ее значение в центре круга zo равно среднему арифметическому ее значений на окружности

z − z0 = R , т.е.

что и требовалось доказать.

Теорема 4.4 (неравенства Коши для производных). Если f(z) — аналитическая функция в замкнутом круге z − z0 ≤ R ,

то все ее производные в точке z0 удовлетворяют неравенству f (n)(z0 ) ≤ MnRn !, n = 1,2,3,... (4.7)

где М — максимум модуля функции f (ζ ) на окружности

ζ − z0 = R .

Доказательство. Применяя формулу (4.4), получим

и нужные неравенства доказаны.

107

Теорема 4.5 (теорема Лиувилля). Если функция f(z)

является аналитической и ограниченной во всей комплексной плоскости , то f(z) тождественно равна постоянной.

Заметим, что в качестве R здесь можно взять любое положительное число. Устремляя R к бесконечности, получим

f ′(z0 ) = 0 . Значит, f ′(z0 ) = 0 в любой точке z0 плоскости .

Отсюда следует, что f(z) = С, и теорема Лиувилля доказана. Если f(z) аналитична в односвязной области D, то,

согласно теореме 2.1 (Коши), интеграл от f(z) по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Следующая теорема показывает, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4.6 (теорема Морера). Пусть однозначная функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл от f(z) по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда f(z) — аналитическая функция в D.

Доказательство. Зафиксируем некоторую точку z0 D и возьмем произвольную точку z D . Поскольку для любого замкнутого контура Г, лежащего в D, ∫ f (z)dz = 0 , то интеграл

не зависит от пути, идущего от z0 к z и лежащего в D (этот факт доказывается точно так же, как и следствие 2.3). Поэтому интеграл (4.8) определяет однозначную функцию Ф(z) переменного z D . Без изменения повторяя рассуждение из доказательства теоремы 2.1 получим, что Ф(z) является аналитической функцией в D и Ф'(z) = f(z). Но производная

108

аналитической функции есть также аналитическая функция (см. теорему 4.2). Тем самым аналитичность функции f(z) доказана.

Интегральная формула Коши (4.1) и формула (4.4) применяются для вычисления интегралов по замкнутым контурам, охватывающим особые точки функции f(z).

Пример 4.4. Вычислить интеграл

∫ sin z dz,

Γ z2 +4

где Г — окружность с центром i радиуса 2. Решение. Поскольку

z2 +4 = (z −2i)(z +2i) ,

то подынтегральная функция имеет две особые точки ±2i , причем точка 2i лежит внутри контура Г (сделайте чертеж!). Представим интеграл в виде

круге, ограниченном контуром Г. Поэтому применима формула (4.1), в которой z = 2i , а переменное ζ обозначено

Пример 4.5. Вычислить интеграл

∫Γ (ze−z dz2)4

по окружности z = 3 .

109

Решение. Точка z=2 находится внутри круга z < 3, а

вида

n=1

Числа z1, z2,... называются членами ряда. Отметим, что выражение (6.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых. Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например, взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма Sn первых п членов ряда называется п-й частичной (частной) суммой ряда:

n

Sn = z1 + z2 +... + zn = ∑zk

k =1

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел n-х частичных сумм при n → ∞, т.е. существует

lim S n = S

n→∞

Число S называется суммой ряда. Если lim S n не существует

n→∞

или равен ∞, то ряд (6.1) называется расходящимся.

110