Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

является в области D первообразной функции 1/z. В D применима формула Ньютона-Лейбница, которая дает

обходов начала координат. Проведем вспомогательный путь Г1 из ζ = 1 в ζ = z , лежащий в D (на рис. 5.5 Г1 показан

пунктиром). Пусть Г1- путь, совпадающий с Г1, но проходимый в обратном направлении. При движении по Г1- от z до 1 угол ϕ

изменяется на - arg z, а при движении по Г от 1 до z — на arg z + 2π п. Поэтому при движении от z до z по пути Γ1− Γ

угол ϕ изменится на 2πn . Отсюда следует, что путь Γ1− Γ

можно непрерывно деформировать в n-кратно проходимую окружность, не задевая при деформировании точку 0 (на рис. 35 эта окружность показана пунктиром, а п = 2). Согласно формуле (2.6), при каждом обходе окружности интеграл от

101

функции 1/ζ изменяется на 2πi (со знаком "+" или "—" в зависимости от направления обхода). Поэтому

ln z .

5.4. Интегральная формула Коши и ее следствия

Формула, которую мы намерены сейчас получить, выражает фундаментальное свойство аналитических функций. Оказывается, аналитическая функция f(z) в замкнутой области

D вполне определяется своими значениями на границе области: по граничным значениям такой функции можно восстановить ее значения всюду внутри области.

Теорема 4.1. Пусть f(z) — аналитическая функция в

замкнутой области D (односвязной или п-связной). Тогда значение функции f(z) в любой внутренней точке z D выражается через ее значения f(ζ ) в точках границы Г по

внутреннюю точку z D (рис. 36). Пусть Г1, ..., Гn — контуры, ограничивающие область D, и

Γ = Γ1 ... Γn

102

обхода окружности γ зададим против часовой стрелки; через γ − будем обозначать ту же окружность, но с обходом в противоположном направлении (при движении по γ − область

D остается слева).

Рассмотрим функцию

ϕ(ζ ) = f (ζ ) /(ζ − z)

комплексного переменного ζ . Она аналитична всюду в D , за исключением точки ζ = z . В частности, ϕ(ζ ) аналитична в замкнутой области D* , получаемой из D выбрасыванием круга ζ − z < ρ . Область D* является (п + 1)-связной, ее гра-

103

Так как ε может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть в приведенных соотношениях не зависит от ε , то она равна нулю, и формула Коши (4.1) доказана.

Примечание. Формула Коши оказывается справедливой и в том случае, если функция f(z) аналитична лишь внутри

области D, но является непрерывной в замкнутой области D . Мы не будем останавливаться на доказательстве этого обобщения.

Интегральная формула Коши имеет многочисленные важные применения.

Теорема 4.2. Функция f(z), аналитическая в замкнутой

области D , имеет в каждой внутренней точке z D производные всех порядков, которые выражаются по следующим формулам Коши для производных:

104

Таким образом, из существования в некоторой области D первой производной функции f(z) следует существование всех ее производных! В частности, производная аналитической функции также является аналитической функцией

(поскольку, в свою очередь, имеет производную). Это свойство существенно отличает дифференцируемые функции комплексного переменного от дифференцируемых функций действительного переменного.

Происхождение формул (4.4) можно объяснить следующим образом. Продифференцируем обе части равенства (4.1) по z; при дифференцировании по z функции f (ζ ) /(ζ − z) , стоящей под знаком интеграла, величину

ζ следует считать постоянной:

Из формулы (4.1) и найденных производных получается (4.4). Но законность дифференцирования под знаком интеграла не обоснована. Поэтому для читателя, не удовлетворенного (и справедливо!) приведенным выше объяснением, мы даем полное доказательство.

Доказательство теоремы 4.2. Докажем формулу (4.4) вначале для п = 1. Зафиксируем произвольную внутреннюю точку z D . Пусть расстояние от z до границы Г равно δ > 0.

Возьмем приращение z, такое что z <δ . Тогда точка z + z также находится внутри D и для нее справедлива формула

Отсюда и из (4.1) получаем

105