Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

круге z − z0 < R , а лишь в кольце r < z − z0 < R . В частности, очень важным будет случай r = 0, т.е. разложение функции в проколотой окрестности точки z0. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют аналитичность (особых точек).

Заметим, что степенных рядов нам теперь будет недостаточно, поскольку такими рядами представляются

только функции, аналитические во всем круге z − z0 < R (см.

неотрицательными значениями п соответствующие члены с п = -1, -2,... и рассмотрим сумму двух рядов

n=−∞

сходимость обоих рядов в правой части (6.16). Докажем теоремы о существовании и единственности такого разложения. Начнем с теоремы существования.

Теорема 4.1 (теорема Лорана). Пусть функция f(z)

аналитична в кольце V ={r < z − z0 < R}. Тогда в этом кольце ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда:

(здесь ρ — произвольное число, заключенное между r и R).

136

Доказательство. Пусть z — какая-либо точка кольца V. Построим кольцо V ′ ={r′< ζ − z0 < R′} лежащее внутри коль-

ца V и содержащее точку z. Для этого следует выбрать числа r' и R' так, чтобы

r < r′ < z − z0 < R′< R

(рис. 6.4). Обозначим через Г1 и Г2 окружности

ζ − z0 = R′ и ζ − z0 = r′;

часовой стрелке. Функция

f(z) аналитична в замкнутой области V ′, граница Г ' которой состоит из кривых Г1 и Г-2 (напомним, что при обходе границы область должна оставаться слева). По интегральной формуле Коши

Разложение в ряд первого интеграла в правой части (6.19) проводится так же, как и в доказательстве теоремы 4.2.

Функцию ζ 1− z представляем в виде

137

q <1 . Поэтому применима формула (6.19), согласно которой

причем ряд (6.20) сходится абсолютно и равномерно по переменному ζ на Г1. Умножая равенства (6.20) на функцию

равномерная сходимость рядов в (6.20) при этом не нарушается), и почленно интегрируя вдоль Г1, получаем

Итак, первый интеграл в правой части (6.19) мы разложили в сходящийся ряд по степеням (z — z0). Второй интеграл в (6.19) придется разлагать иначе, поскольку для

138

n=0

равномерной сходимости Вейерштрасса (теорема 2.2) ряд в правой части (6.23) сходится на Г2 абсолютно и равномерно по переменному ζ . Нам удобно переписать этот ряд в несколько

иной форме, введя новый индекс суммирования k равенством k = - п - 1, т.е. п = - к - 1. Когда n принимает значения 0,1, 2,..., индекс k пробегает значения - 1, - 2, - 3,... Поэтому равенство (6.23) перепишется в виде

равномерной сходимости рядов в (6.24) на окружности Г2) и почленно проинтегрируем вдоль Г2:

Индекс k в формулах (6.25), (6.26) можно заменить любой другой буквой; в частности, можно снова обозначить его через n,

где п = - 1, - 2,... Подставляя разложения (6.21) и (6.23) в (6.19),

139

свойством неизменяемости интеграла при деформации пути интегрирования (следствие 4.4), интегралы в (6.22) и (6.26) не изменятся, если окружности Г1 и Г2 заменить любым другим замкнутым путем интегрирования, лежащим в этом кольце. В частности, если выбрать произвольное ρ , такое что r < ρ < R

Ряд (6.17) по целым степеням (z – z0) (как положительным, так и отрицательным), коэффициенты которого определяются по формулам (6.19), называется рядом

главной частью ряда Лорана (обоснованность названий выяснится в дальнейшем).

Перейдем теперь к вопросу о единственности разложения

(6.17).

Теорема 25.2 (теорема единственности разложения

Тогда f(z) является аналитической в V функцией, а коэффициенты cn , n = 0, ±1,±2,... разложения определяются

однозначно по формулам (6.18).

Доказательство. Так как по условию теоремы ряд (25.2) сходится в V, то сходятся оба ряда в правой части (6.16),

∞

составляющие ряд (6.17). Первый из них - ряд ∑cn (z − z0 )n -

n=0

140