Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

является обычным степенным рядом, сходящимся в некотором круге с центром z0 и расходящимся вне этого круга. Поскольку этот ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в круге сходимости. Так как сумма степенного ряда аналитична в круге сходимости (свойство 4.6), то сумма S1(z) ряда

n=−1

положив Z = z −1z0 , k = −n . Тогда изучаемый ряд примет вид

∞

∑c−k Z k . Этот ряд является степенным рядом относительно

k =1

переменного Z с центром Z0 = 0; он сходится в некотором круге Z < R0 , расходится вне его, и его сумма является

аналитической функцией в этом круге. В круге Z < R0′ с R'0 < R0 этот ряд сходится равномерно (свойство 4.5).

внешность круга с центром z0 радиуса 1R0 . Таким образом,

ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в области сходимости z − z0 >1 R0 этого ряда. При этом в области z − z0 >1 R0′ с

141

R'0 < Ro сходимость будет равномерной. В частности, ряд равномерно сходится при z − z0 > r′, если r′ > r .

Итак, оба ряда в правой части (6.16) сходятся в кольце V и их суммы S1(z) и S2(z) аналитичны в V. Значит, функция f(z) = =S1(z) + S2(z) аналитична в V.

Покажем, что коэффициенты сп разложения определяются однозначно по формулам (6.18). Возьмем

окружность Γ ={z − z0 = ρ}, где r < ρ < R . Подберем числа r' и R' так, чтобы r < r' < ρ < R' < R. Оба ряда в правой части (6.16) равномерно сходятся в кольце V ′ ={r′< z − z0 < R′}.

Значит, и ряд

∞

∑ ck (z − z0 )k = f (z)

k =−∞

сходится в нем равномерно. Это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень

(z − z0 )−n−1, n = 0, ±1,±2,..., так как каждая из этих степеней является функцией, ограниченной в V' (см. замечание 3.5):

В силу теоремы 3.4 полученный ряд можно почленно интегрировать вдоль Г:

согласно которому все интегралы в левой части (6.27) равны нулю, кроме одного, для которого к - п - 1 = - 1 (т.е. k = п) и который равен 2πi . Поэтому в сумме из (6.27) остается лишь одно слагаемое при k = n, и мы получаем

142

что равносильно равенствам (6.18). Теорема 4.2 доказана. При доказательстве теоремы 4.2 мы установили, что ряд

(6.17) сводится к объединению двух степенных рядов, один из которых сходится внутри некоторого круга с центром z0, а другой — вне круга меньшего радиуса с тем же центром (если бы радиус второго круга был больше, то множество сходимости ряда (6.17) было бы пустым). Обозначим радиусы этих кругов R и r соответственно (здесь не утверждается, что эти числа совпадают с внешним и внутренним радиусами кольца V в теоремах4.1,4.2). Отсюда и из свойств степенных рядов вытекают следующие свойства ряда (6.17).

Свойство 4.3. Множеством сходимости ряда (6.17)

добавлением некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи r = 0 и R = ∞.

Свойство 4.4. Сумма S(z) ряда (6.17) является аналитической функцией внутри кольца V.

Свойство 4.5. Ряд (6.17) можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать внутри кольца V любое число раз. Полученные при этом ряды имеют то же кольцо сходимости V, что и исходный ряд (6.17); сходимость в граничных точках может не сохраняться.

Свойство 4.6. Если V ={r < z − z0 < R} является кольцом

сходимости ряда Лорана функции f(z) и 0 < r < R < ∞, то и на внутренней, и на внешней границах кольца V лежат особые

143

z − z0 < R и Z <1 r . Согласно замечанию 2.2, на границе круга сходимости степенного ряда лежат особые точки его

этих окружностях лежат особые точки функции f(z) = S1(z) + +S2(z) , что и требовалось доказать.

Для нахождения разложений в ряд Лорана широко используются те же приемы, что и для разложения в ряд Тейлора, а именно метод подстановки, почленное интегрирование и дифференцирование рядов и т.д.

Пример 4.7. Найти все лорановские разложения

где А и В — числа, которые предстоит найти. С этой целью приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю:

Отсюда следует, что w + 2 = A(w + 1) + Bw, причем равенство выполнено при всех значениях w, включая w = 0 и w = -1 (это следует из непрерывности левой и правой частей этого равенства). При w = 0 получаем 2 = А, т.е. А = 2; подставляя w = - 1, имеем 1 = -В, т.е. В = -1. Таким образом,

144

V2 ={1 < w < ∞}. Найдем лорановские разложения в каждом из

этих колец.

При w <1 справедлива формула (2.14), которая дает.

При w >1 полученный ряд перестает сходиться. Поэтому для

разложения функции g(w) в кольце V2 следует преобразовать дробь:

если вместо z подставить в нее 1/w. Выполняя указанные подстановки, получим

(мы сделали замену k = -(n + 1) и воспользовались равенством (-1)к = (-1)-k). Возвращаясь к переменному z = w + 1, получаем искомые разложения функции f(z):

145