Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

При 0 < z −1 <1 главная часть разложения состоит только из

главной части, а все коэффициенты правильной части обращаются в нуль. По теореме 4.2 полученные разложения единственны (хотя их можно находить и другим способом). Заметим, что каждая граница рассматриваемых колец (т.е.

окружности z −1 = 0 с радиусом 0 и z −1 =1 с радиусом 1) содержат особые точки функции f(z).

7. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ

7.1. Классификация изолированных особых точек

Пусть z0 — особая точка функции f(z), т.е. f(z) не является аналитической в этой точке (в частности, может быть не определена в ней). Если найдется такая проколотая

окрестность точки z0 (т.е. множество 0 < z − z0 < R ), в которой f(z) аналитична, то z0 называется изолированной особой точкой

понимать множество z > R — внешность некоторого круга с

центром в начале координат. Другими словами, особая точка z0 называется изолированной, если найдется такая окрестность этой точки, в которой нет других особых точек, отличных от z0. Всюду в дальнейшем мы рассматриваем только особые точки однозначного характера (функция f(z) предполагается однозначной).

146

В зависимости от поведения функции f(z) при z → z0

различают три типа особых точек. Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется:

1) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

lim f (z) = A;

z→z0

2) полюсом, если существует предел

lim f (z) = ∞;

z→z0

3) существенно особой точкой, если f(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → z0 .

Пример 7.1. Покажем, что все три типа особых точек реализуются. Рассмотрим f1 (z) = sinz z . Точка z0 = 0 является

изолированной особой точкой этой функции. Используя формулу (2.12), получим разложение

z0 = 0 является существенно особой точкой этой функции. При стремлении z к нулю по действительной оси левый и правый

Отсюда следует, что f3(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → 0 , т.е. z0 = 0 — существенно особая точка этой функции. (Заметим, что при стремлении точки z = iy к нулю по мнимой оси функция

147

неизолированной особой точкой этой функции: в любой (сколь угодно малой) окрестности этой точки имеются другие особые

точки zn.

Пусть z0 — конечная изолированная особая точка функции f(z). Тогда f(z) аналитична в некоторой проколотой

окрестности 0 < z − z0 < R точки z0; эту окрестность можно

рассматривать как кольцо с внутренним радиусом r = 0. По теореме 4.1 в рассматриваемой окрестности функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана (6.17). Мы покажем, что поведение функции при z → z0 (т.е. тип особой точки z0)

зависит от вида главной части разложения (6.17); этим обстоятельством и объясняется происхождение термина "главная часть".

Теорема 7.2. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид

n=0

т.е. состоит только из правильной части, а все коэффициенты главной части равны нулю.

Доказательство. 1. Пусть z0 — устранимая особая точка. Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид (7.1). Так как особая точка z0 устранимая, то

существует конечный предел lim f (z) = A . Следовательно, f(z)

z→z0

148

ограничена в некоторой проколотой окрестности 0 < z − z0 < R1 точки z0, т.е. f (z) < M для всех z из этой окрестности. Возьмем любое ρ , 0 < ρ < R1 , и воспользуемся формулами (6.18) для коэффициентов ряда Лорана:

Для коэффициентов главной части разложения п = - 1, - 2,...

Для таких значений п имеем ρ−n → 0 при ρ → 0 . Так как значение может быть выбрано сколь угодно малым, то и M ρ−n

не зависят от ρ , то сп = 0 при п = - 1,- 2,..., что и требовалось

доказать.

2. Предположим теперь, что лорановское разложение имеет вид (26.1). Ряд (7.1) является степенным рядом и, следовательно, сходится не только в проколотой, но и во всей

окрестности z − z0 < R , включая и точку z0; его сумма S(z)

= S(z0 ) . Следовательно, особая точка z0 устранимая. Теорема

доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что в проколотой окрестности 0 < z − z0 < R устранимой особой точки функция f(z) совпадает с функцией S(z), аналитической во всей окрестности z − z0 < R . Поэтому, если мы положим

f(z0) = S(z0), то, не меняя значений функции f(z) ни в каких точках проколотой окрестности, мы сделаем эту функцию аналитической в z0, т.е. "устраним" особенность. Этим и

149

объясняется термин "устранимая особенность". Такие точки естественно считать правильными, а не особыми точками функции f(z).

Рассмотрим, например, функцию

= sin z f1 (z) z

В примере 7.1 было показано, что lim f1 (z) =1, т.е. особая

z→0

точка z0 = 0 устранимая. Полагая f1(0) = 1, мы тем самым устраним особенность и получим функцию, аналитическую в точке z0 = 0 (и во всей плоскости ).

Дадим теперь характеристику полюсов в терминах лорановских разложений.

Теорема 7.3. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложения Лорана с центром z0 имеет лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов сп:

Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид

(7.2). Так как lim f (z) = ∞ , то существует проколотая

z→z0

окрестность точки z0, в которой f(z) аналитична и не имеет нулей. Тогда функция g(z) = 1/f(z) тоже будет аналитической в

этой проколотой окрестности, причем lim g(z) = 0 .

z→z0

Следовательно, z0 является устранимой особой точкой функции g(z). Доопределим g(z) в точке z0, положив g(z0) = 0. Тогда g(z) станет аналитической во всей окрестности (не проколотой) точки z0, причем z0 будет ее изолированным нулем. Обозначим через N кратность (порядок) этого нуля. Как было показано в окрестности точки z0 функция g(z) представима в виде (см. (3.2))

g(z) = (z − z0 )N ϕ(z) ,

150