Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

утверждение справедливо во всех случаях, и теорема 7.7 доказана.

Согласно теореме 7.7 (Сохоцкого), в любой (сколь угодно малой) проколотой окрестности существенно особой точки функция f(z) принимает значения, сколь угодно близкие к

любому числу из расширенной комплексной плоскости . Для исследования изолированных особых точек часто

бывают полезными уже известные тейлоровские разложения основных элементарных функций.

Пример 7.8. Определить тип особой точки z0 = 0 для функции

f (z) = e3z −1 3

(sin z) − z + z 6

Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора по степеням z. Подставляя в (2.11) 3z вместо z и вычитая 1, получим

Используя (2.12), получим разложение знаменателя:

Ряды в этих разложениях сходятся во всей комплексной плоскости . Имеем

156

и f2(z) аналитичны в окрестности точки z0 = 0 (и даже во всей плоскости) и f2 (z0 ) ≠ 0 , то h(z) также аналитична в некоторой

окрестности точки z0 = 0; при этом h(0) = 3 5! ≠ 0 . Согласно следствию 26.4, точка z0 = 0 является полюсом порядка N = 4.

проколотой окрестности точки z0 = 1. Поскольку полученное разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями (z — 1), то z0 = 1 — существенно особая точка (в данном случае лорановское разложение состоит только из главной части, а правильная часть отсутствует).

Заметим, что установить характер особенности в данном случае можно было и непосредственно из определения, не прибегая к разложению в ряд. Действительно, существуют последовательности {z'n} и {z''n}, сходящиеся к z0 = 1, и такие, что f(z'n) = 1, f(z''n) = 0 (укажите такие последовательности

157

самостоятельно). Значит, f(z) не имеет предела при z →1 и, следовательно, точка z0 = 1 является существенно особой.

Введем понятие лорановского разложения функции в окрестности точки z0 = ∞ и рассмотрим связь разложения с

характером особенности в этой точке. Отметим, что определения изолированной особой точки и ее типа (устранимая, полюс либо существенно особая) переносятся на случай z0 = ∞ без изменений. Но теоремы 7.2, 7.3 и 7.6,

связанные с характером лорановских разложений, нуждаются в изменении. Дело в том, что члены cn(z — z0)n, п = -1,-2,..., главной части, определяющие "нерегулярность" функции вблизи конечной точки z0, при стремлении z к ∞ будут вести себя "правильно" (стремиться к 0). Напротив, члены правильной части с n = 1,2,... будут стремиться к ∞; они и определяют характер особенности в z0 =∞ . Поэтому главную

часть разложения в окрестности ∞ будут составлять члены с положительными степенями n, а правильную — с отрицательными.

Введем новое переменное w = 1/z. Функция w = 1/z, доопределенная так, что w(∞) = 0 , взаимно однозначно и

проколотой окрестности 0 < w <1 R точки w0 = 0. Так как при

z → ∞ будет w → 0 , то

lim f (z) = lim G(w) .

z→∞ w→0

Поэтому G(w) имеет в точке w0 = 0 особенность того же типа, что f(z) в точке z0 = ∞ . Разложим функцию G(w) в ряд Лорана

в проколотой окрестности точки w0 = 0:

158

Суммы в правой части (7.5) представляют правильную и главную части разложения соответственно. Перейдем к переменному z, подставив w = 1/z:

Разложение (7.6) называется разложением Лорана функции f(z) в проколотой окрестности точки z0 = ∞ . Первая сумма в

(7.6) называется правильной частью, а вторая сумма — главной частью этого разложения. Поскольку эти суммы соответствуют правильной и главной частям разложения (7.5), то для разложения (7.6) справедливы аналоги теорем 7.2, 7.3 и 7.6. Так, аналогом теоремы 7.2 будет следующая теорема.

Теорема 7.10. Изолированная особая точка z0 = ∞

функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид

называется аналитической в точке z0 = ∞ . (Заметим, что это

определение равносильно аналитичности функции G(w) в точке w0 = 0.)

Пример 7.11. Исследовать особую точку z0 = ∞ функции

159

соответствующее разложение (7.7). Перейдем к переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w, получим

(последнее равенство справедливо в проколотой окрестности точки w0 = 0, но мы доопределим G(0) = 0). Полученная функция имеет особые точки w = ±i , w = −13 , а в точке w0 = 0 является аналитической. Раскладывая функцию G(w) по степеням w (как это делалось в примере 6.7) и подставляя в полученный степенной ряд w = 1/z, можно получить разложение (7.7) функции f(z).

Теорема 7.3 для случая z0 = ∞ перепишется в следующем

виде.

Теорема 7.12. Изолированная особая точка z0 = ∞

функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложения Лорана (7.6) имеет лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов сп:

n=0

Здесь ряд является правильной частью, а многочлен в скобках — главной частью разложения. Кратность полюса в ∞

160