Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Наряду с плоскостью переменного z = x +iy , рассмотрим

координатами (x, y) ставит в соответствие вполне определенную точку ω = u +iv с координатами (u, v) ; когда

точка z пробегает множество D на плоскости переменного z, соответствующая точка ω пробегает на плоскости переменного ω другое множество Е. Таким образом, однозначная функция ω = f (z) отображает множество D на

множество Е, т.е. каждой точке z D ставит в соответствие точку ω E . Точка ω называется образом точки z, а точка z

— прообразом точки ω при отображении ω = f (z) . Точка ω может иметь несколько (и даже бесконечно много) прообразов. Например, при отображении ω = zn каждая точка ω ≠ 0 имеет ровно n прообразов — корней n-й степени из ω .

Отсюда следует, что поведение функции комплексного переменного нельзя проиллюстрировать с помощью графика в декартовой системе координат, плоской или трехмерной. Чтобы представить себе геометрические свойства функции ω = f (z) , нужно исследовать, на какие множества

отображаются те или иные области и кривые.

Пример 3.1. Найти, на какую область отображается

Выясним, в какую кривую переходит граница области D при

отображении ω = z2 . Предположим, что эта граница обходится начиная от точки z = 0 в положительном направлении (т.е. так, что при обходе область D остается слева — рис. 2.4, а). Из формул (3.1) следует, что отрезок действительной оси 0 ≤ r ≤ R, ϕ = 0 , перейдет

26

отрезок 0 ≤ ρ ≤ R2 , θ =π , т.е. в отрезок [-R, 0] действительной

оси. Каждая внутренняя точка z четверти круга D перейдет во внутреннюю точку полукруга Е на плоскости ω , и при этом весь полукруг Е будет заполнен образами точек z полностью, без всяких "дырок".

Пример 3.2. Найти, на какую область отображается круг

27

Проколотой δ -окрестностью точки z0 называется δ -

окрестность этой точки, за исключением самой точки z0 (т.е. внутренность круга радиуса δ с центром z0 , из которого

28

удален центр z0 ). Это множество можно записать в виде

неравенств: 0 < z − z0 <δ .

Пусть функция ω = f (z) определена в некоторой проколотой окрестности точки z0 . Число А называется

пределом функции ω = f (z) в точке z0 , если для любого ε > 0

найдется такое δ > 0 (зависящее от ε ), что для всех точек проколотой δ -окрестности точки z0 выполняется неравенство

f (z) − A <ε .

такая проколотая окрестность точки z0 , что для всех точек z из

этой проколотой окрестности соответствующее значение ω = f (z) лежит в U A . В такой форме определение предела

охватывает и случаи z = ∞ и (или) A = ∞; под проколотой окрестностью точки z = ∞ понимается множество z > R .

Данное определение предела аналогично определению предела для функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т.д., сохраняют силу и для функций

u(x, y) , v(x, y) двух действительных переменных х и у.

29

δ > 0, что для всех точек проколотой δ -окрестности точки z1 ,

принадлежащих области D, выполняется неравенство f (z) − A <ε .

На рис. 2.6 указанные точки из D отмечены штриховкой. Перейдем к определению непрерывности функции

комплексного переменного.

Функция ω = f (z) , определенная в окрестности (не проколотой!) точки z0 , называется непрерывной в точке z0 , если

действительных функций u(x, y) и v(x, y) переменных х и у в

точке (x0 , y0 ) .

Функция ω = f (z) , определенная в области D, называется непрерывной в этой области, если f (z) непрерывна в каждой точке области D. Функция ω = f (z) называется непрерывной в

замкнутой области D , если она определена в D и для каждой точки z0 D (включая граничные точки) выполнено равенство

30