Решение. Записываем расширенную матрицу системы. Затем умножаем первую строку на –1 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей:
1 |
1 |
1 |
|
4 |
|
|
1 1 |
1 |
|
4 |
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Умножаем вторую строку на –2 и прибавляем к третьей:
1 |
1 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
Таким образом, расширенная матрица системы приведена к треугольному виду. Производим обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами, эквивалентную исходной:
x |
x |
x 4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
x2 2x3 4 . |
|
|
|
0 13 |
|
|
|
||
Замечаем, что третье уравнение системы не имеет решений, поэтому система несовместна (не имеет решений).
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи №№ 3.190-3.194, 3.198-3.203, 3.208-3.212, 3.214, 3.240, 3.244 [7].
Составить программу решения системы линейных уравнений на ЭВМ (3.265) и решить задачи 3.266-3.268 [7].
Форма отчетности: краткий реферат с решением задач, который представляется по ходу изучения программы курса высшей математики. Решения задач на ЭВМ (программы и ре-
6
зультаты счета) представляются по ходу изучения курса "Алгоритмические языки и программирование".
ЗАНЯТИЕ № 2
МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ. РАНГ МАТРИЦЫ
Литература: [3], c. 16-18, 86-92.; [15], c. 18-36. [16], c. 21-22.
Контрольные вопросы и задания
1.Что называется матрицей, размерностью матрицы?
2.Какие операции можно выполнять с матрицами?
3.Какие матрицы можно складывать, перемножать?
4.Что такое ранг матрицы?
5.Как находится ранг матрицы методом окаймляющих миноров, методом элементарных преобразований?
6.Какие методы решения инженерных задач используют матрицы ?
7.Как с помощью ранга матрицы выяснить совместность системы?
8.Объяснить теорему Кронекера-Капелли.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти линейную комбинацию матриц 2A 3B, где
1 2 |
3 |
, |
2 |
3 0 |
|
|
|
|
|
||
A |
|
B |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
0 1 |
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
2A 3B 2 |
1 |
2 3 |
2 |
3 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
1 1 |
2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
2 4 |
6 |
6 |
9 0 |
4 13 |
6 |
||||
|
|
0 2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
6 |
3 3 |
6 5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти произведения матриц AB и BA, если |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
B |
|
6 0 |
2 |
|
||||
A |
0 |
|
, |
|
. |
||||
1 |
1 |
|
|
|
7 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. AB |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
7 |
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 3 2 6 3 7 |
1 4 2 0 3 1 |
|
1 5 2 2 3 8 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 3 0 6 1 7 |
1 4 0 0 1 1 1 5 0 2 1 8 |
|
|
||||||||||||||||
36 |
7 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведение BA не существует, |
так как число столбцов мат- |
||||||||||||||||||
рицы B не совпадает с числом строк матрицы A (3 2). |
|
|
|||||||||||||||||
Пример 3. Вычислить ранг матрицы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
2 |
|
4 |
7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
10 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
методом элементарных преобразований. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Приводим матрицу к треугольному виду: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
меняем местами |
|
|
|
|||||
|
A |
|
1 |
2 |
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
первую и вторую строки |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
0 |
10 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
4 |
7 |
|
умножаем первую строку на |
5 |
|
||||||||||
|
|
0 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и прибавляем к третьей |
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
0 |
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
|
7 |
|
|
|
умножаем вторую строку на 10 |
|
|||||
|
0 |
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
и |
прибавляем к третьей |
|
||||||||
|
0 |
10 |
10 |
30 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
4 |
7 |
|
вычеркиваем |
1 |
2 |
4 |
7 |
|
|||||
|
0 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
нулевую |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
. |
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
строку |
0 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как число ненулевых строк равно 2, то ранг матрицы равен
2.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [7], 3.76, 3.81, 3.83, 3.85, 3.92, 3.159-3.168.
Составить программу перемножения двух матриц: [7], 3.247. Составить программу транспонирования квадратной мат-
рицы: [7], 3.248.
Форма отчетности: краткий реферат с программой.
ЗАНЯТИЕ № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ
Литература: [1], c. 267-269; [4], c. 45-50; [7], c. 142-143; [15], c. 35-40;[16],c. 37-43.
Контрольные вопросы и задания
1.Какая система линейных уравнений называется одно-
родной?
2.Может ли однородная система быть несовместной?
3.Каковы необходимые и достаточные условия наличия у однородной системы ненулевых решений (с доказательством )?
4.Что называется фундаментальной системой решений однородной системы?
9
5. Как найти общее решение неоднородной системы, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной?
Примеры решения задач Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и
общее решение однородной системы линейных уравнений
x1 2x2 2x3 3x4 0 |
||||
|
6x1 3x2 3x3 x4 0 |
|||
|
||||
|
7x x x 2x 0 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
3x 9x 9x 10x 0 |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Решение. Приведем матрицу системы к треугольному виду
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
умножим первое уравнение |
|
|
||||||
|
6 |
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
на 6, |
7, 3 и прибавим |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
последовательно |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
9 |
10 |
|
|
|
|
ко 2, 3, 4 уравнению |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
умножим второе уравнение |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
15 |
|
15 |
19 |
|
|
|
|
|
на 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
15 |
|
15 |
19 |
|
и прибавим последовательно |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
15 |
|
15 |
19 |
|
|
|
|
к 3, 4 уравнению |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
15 |
15 |
|
19 |
|
|
1 2 2 3 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 15 15 19 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом матрица коэффициентов имеет ранг r 2
. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами
|
x1 2x2 2x3 3x4 0 |
||
|
15x 15x 19x 0 . |
||
|
2 |
3 |
4 |
|
10 |
|
|