Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

C

(t) E 1 e tch t

 

 

 

 

e tsh t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t) CE e t

sh t

 

 

 

e

tsh t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

t

 

 

E

 

 

 

t

 

 

 

 

CE

 

 

e

 

sh t

 

 

 

 

e

 

 

sh t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

Вэтом случае колебания в контуре отсутствуют, напряжение на конденсаторе стремится к E , а ток в цепи стремится к нулю, так как 0 .

Замечание. Операционный метод используется и при решении интегро-дифференциальных уравнений. В нашей задаче можно вначале находить ток i(t), для которого в силу уравнений (1) (4) имеем

L

di

Ri

1

t

i( )d uC

(0) E.

 

 

 

(10)

 

C

0

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если i(p) I(p) , то с учетом начальных условий (7) и

свойства интегрирования оригинала получим

 

 

 

 

 

 

 

 

di

pI(p) i(0)

pI(p),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

1

 

 

 

uC (0)

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

i( )d uC (0)

 

I

(p)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

C

Cp

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производим преобразование Лапласа уравнения (10):

 

 

 

 

 

 

 

 

LpI(p) RI(p)

I(p)

 

E

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

Отсюда получаем

146

 

1

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

I(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I lp R

Cp

 

 

 

R

 

 

 

 

1

 

 

 

L p

2

 

 

2

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

R

,

2

1

 

R2

 

 

 

 

1

 

 

2.

Далее рассмот-

 

 

LC

4L2

 

LC

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рим различные возможные случаи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

а) Если R 0 (сверхпроводимость), то 0, 2

 

 

 

 

и

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражение (11)

примет вид

I(p)

 

 

 

 

. Переходя от

L p2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображения к оригиналу, получим искомый ток:

i(t) E sin t. L

Таким образом, при R 0 имеют место гармонические колебания тока в контуре.

б) Если сопротивление мало (R 2L/C ), то 2 0 иможно считать действительным положительным числом. В этом случае

 

 

i t

E

e t sin t .

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае имеют место затухающие колебания тока в

контуре, так как a 0.

 

 

 

 

 

 

 

в) Если R 2

 

, то

a 1

 

, 2 0 и выражение

L C

LC

(11) примет вид I p

 

E

 

 

. Переходя от изображения к

L p 2

 

оригиналу, получим искомое значение тока:

i t E te t. L

147

В этом случае колебания в контуре отсутствуют, ток в цепи стремится к нулю, так как a 0.

г) Если сопротивление велико R 2LC , то 2 0.

Обозначаем , где можно считать действительным положительным числом. В этом случае выражение (11) имеет следующий оригинал

E

 

1

 

E

 

E

 

E

e t sh t.

L p 2 2

L p 2 2

 

 

 

L

В этом случае колебания в контуре отсутствуют, ток в цепи стремится к нулю, так как 0 .

Пример 2. Операционный метод применим не только при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, но и для некоторых уравнений с частными производными, например, для линейных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда неизвестная функция зависит от двух переменных. С помощью преобразования Лапласа такое уравнение можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с параметром. Решая это уравнение и применяя к его решению обратное преобразование Лапласа по параметру, получим решение исходной задачи.

Рассмотрим задачу распространения электрических колебаний вдоль длинных линий. Известно, что напряжение v x,t и

ток i x,t в линии связаны системой дифференциальных уравне-

ний в частных производных

 

 

v

Ri L

i

0

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

x

 

 

(*)

 

i

 

 

v

 

 

gv C

 

0,

 

 

x

 

t

 

 

 

 

 

 

где R - активное сопротивление; L - индуктивность; g -

проводимость изоляции; C- емкость, рассчитанные на единицу длины линии.

148

Будем решать задачу, для которой в начальный момент времени напряжение и ток равны нулю: v x,0 0, i x,0 0. Со-

вершая преобразования Лапласа: v x,t V x, p и i x,t I x, p , получаем по теореме о дифференцировании оригинала

v pV и i pI. По теореме о дифференцировании по парамет-

t t

ру: v V и i I - здесь считаем, что параметр p - посто-

x x x x

янная величина. После простых преобразований система, соответствующая (*), примет вид

dV

R Lp I

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

dI

 

(g Cp)V.

 

 

 

dx

 

Это система обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведением к одному уравнению второго порядка получаем

d2V Lp R Cp g V 0. dx2

Его общее решение имеет вид V x, p Ae x Be x , где

Lp R Cp g - корень характеристического уравнения.

Функцию I x, p найдем дифференцированием из первого уравнения системы

I x,p

1

 

V

 

 

 

Be x Aex

Cp g

Be x Aex .

 

 

Lp R

 

 

Lp R x

 

Lp R

Чтобы найти постоянные Aи B нужно задать краевые условия, т.е. знать «поведение» напряжения и тока в начале ( x 0) и в конце отрезка (x l ) или (x ). Пусть v 0,t v1 t , v l,t v2 t , v1 t V1 p , v2 t V2 p . Так как мы рассматриваем

149

более простую задачу (линия очень длинная), то считаем, что

l . Условие

 

v l,t v2 t

заменяется требованием ограничен-

ности как функции V x, p ,

 

так и I x, p при x . Если вы-

брано так, что

 

Re 0, то

 

e x

при x и нужно поло-

жить

A 0. Начальному

условию v 0,t v1 t

соответствует

V

 

 

V p .

 

 

 

 

V x, p V p e

 

 

 

и

 

 

Таким

образом,

Lp R Cp g x

 

 

 

x 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I x, p

 

Cp g

V x, p ,

так

 

как

e x 1при x 0, а B V

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lp R

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим простейший случай, соответствующий линии без по-

терь, то есть при R g 0. В этом случае V x, p V1 p e

 

 

LC px

 

 

 

 

 

 

 

 

и I x, p

C

V x, p . Оригиналы находятся по теореме запазды-

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вания

v x,t v1 t x

 

 

при

t x

 

 

0, v x,t 0

при

 

LC

LC

 

t x

 

0. Процесс

распространения как

v x,t так и i x,t

LC

носит волновой характер. В точке x напряжение возникает в момент t xLC, значит, скорость распространения волны равна xt 1LC. В общем случае процесс будет происходить с той же скоростью, но затухать по амплитуде из-за потерь в линии.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить :[23], №№ 600, 601; [22], №№ 13.164-13.166..

Форма отчетности: устный опрос, рефераты, расчетнографические задания и курсовые работы.

150

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога