Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М
Так как ранг системы r 2 n 4 - числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве
главных переменных можно выбрать x1 |
и x2 , |
соответствующие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
столбцам ненулевого минора |
|
|
1 |
2 |
|
|
; в качестве свободных пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
15 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ременных – |
x3 |
и x4 . Из второго уравнения системы получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
19 |
x |
. Подставляя это выражение в первое уравнение, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
15 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||
|
|
x 2x 2x 3x 2x |
x 2x 3x |
x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
3 |
15 |
|
|
4 |
3 |
|
|
4 |
15 |
4 |
||||||||||||||||||||
|
Обозначаем свободные переменные через произвольные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянные x3 c1, |
|
x4 c2 |
и записываем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
7 |
c , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x c |
19 |
c . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
15 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
15 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, общее решение системы имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
c |
|
|
0 c |
|
7 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
|
2 |
1 |
|
15 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
c1 |
|
|
19 |
c2 |
|
|
|
|
c1 |
|
19 |
c2 |
|
c 1 c |
|
|
19 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
15 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
c1 0 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
0 c c |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из общего решения находим фундаментальную систему решений:
|
|
0 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
1 |
, |
E |
2 |
|
19 |
. |
||
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11
С использованием фундаментальной системы решений общее решение может быть записано в виде X c1E1 c2E2,
где |
c2 c2 |
15. |
|
|
||
Пример 2. Найти |
общее решение неоднородной системы |
|||||
|
4x x 3x 2x 1 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2 , используя фундаментальную систему |
|
|
8x1 |
5x2 6x3 |
3x4 |
|||
|
|
|
|
9x3 5x4 |
3 |
|
12x1 7x2 |
||||||
решений соответствующей однородной системы.
Решение. Замечаем, что частным решением данной неоднород-
ной системы является Xчн 1, 2,1, 2 .
Приведем матрицу системы к треугольному виду
4 |
1 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
2 |
4 1 |
3 |
2 |
||||||
|
8 |
5 |
6 |
3 |
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
0 |
12 |
0 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
7 |
9 |
5 |
|
|
0 |
4 |
0 |
|
|
0 |
12 |
0 |
3 |
|
12 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
4 |
1 3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
0 12 0 |
4 |
|
|
0 |
3 0 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 0 0 |
1 |
|
|
0 |
0 0 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Таким образом, однородная система примет вид |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x x 3x 2x 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 x4 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
Решение этой |
системы |
имеет |
вид |
x4 0, |
x2 0, |
|||||||||
x |
|
x |
. Обозначая |
x |
4c, |
получим общее решение одно- |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
1 |
4 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3c |
3 |
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
родной системы X0 |
|
|
c |
|
. Общее решение исходной |
||
|
4c |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неоднородной системы будет иметь вид |
|
|
3c 1 |
|
||||||
|
3 |
1 |
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
X X0 |
Xчн c |
|
|
|
|
|
, |
|||
|
4 |
1 |
4c 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. x1 3c 1, x2 2, x3 4c 1, x4 2.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи:[7], 3.225-3.232; 3.236-3.239.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.
ЗАНЯТИЕ № 4
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Литература: [1], c. 190-195; c. 25-31; [15], c. 61-65. [16],c. 50 -52.
Контрольные вопросы и задания
1.Дайте определение смешанного произведения векторов.
2.Каковы свойства смешанного произведения векторов?
3.Каково необходимое и достаточное условие компланарности векторов?
13
4.Как выражаются векторное и смешанное произведения через координаты перемножаемых векторов (с доказательством)?
5.Каков геометрический смысл смешанного произведения векторов?
6.Дайте определение векторного произведения.
7.Как находится двойное векторное произведение?
Примеры решения задач
Пример 1. Даны вершины пирамиды: A 5,1, 4 , B 1,2, 1 ,
C 3,3, 4 , D 2,2,2 . Найти длину высоты h, опущенной из
вершины D на грань ABC.
Решение. Так как объем пирамиды есть V 1Sh, то h 3V ,
3 S
где S – площадь основания ABC.
Находим V как 1 объема параллелепипеда, построенного на
6
векторах AB , AC и AD . Определяем координаты этих векто-
ров: AB 4,1,3 , AC 2,2,0 , AD 3,1,6 и вычисляем
объем пирамиды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
2 |
2 |
0 |
|
| |
|
24 |
|
4. |
|||||
|
AB |
AC |
AD |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
6 |
|
3 1 |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим площадь основания ABC:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S |
|
AB |
|
AC |
|
|
| |
4 |
1 |
3 |
| |
|
6 |
i |
6 |
j |
6 |
k |
|
3 |
3 |
. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14
Следовательно, h |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
3 |
3 |
2, 3,1 , |
|
|
3,1,2 и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Даны |
векторы |
|
|
|
||||||||
a |
b |
|||||||||||
c 1,2,3 . Вычислить a b c .
Решение. 1-й способ. Вычисляем сначала векторное произведение, стоящее в скобках:
i j k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b 2 |
3 |
1 7i 7 j 7k . |
||||||||
3 1 2
Полученный результат умножаем векторно наc :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
7 |
7 |
7 |
7 |
|
14 |
|
7 |
k |
. |
||||||||
a |
c |
i |
j |
|||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й способ. Воспользуемся формулой:
a b c b a c a b c b 2 6 3 a 3 2 6
b 5a 3 10, 1 15, 2 5 7,14, 7 .
E
B
D
C
A
F
Рис. 1
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [6], 871, 873, 874 (1,2), 875, 876, 877, 878, 879, 881.
15