Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М
Указание к решению задачи № 881. Вектор CE перпен-
дикулярен векторам CB и CA, а вектор CF , параллельный вы-
соте AD, перпендикулярен векторам CE и CB (рис. 1). Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, кон-
трольная работа.
ЗАНЯТИЕ № 5 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Литература: [3], c. 80-114, 121-135; [8] c. 166-191; [15], c. 66-75; [16],c. 29-36.
Контрольные вопросы и задания
1.Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры.
2.Что такое базис линейного пространства и его связь с размерностью линейного пространства?
3.Как определяется матрица перехода между старым и новым базисами?
4.Расскажите о линейном операторе.
5.Как выглядит матрица линейного преобразования в новом базисе?
6.Дайте определение собственных значений и собственных векторов.
Примеры решения задач
Пример 1. Является ли множество M m,n всех матриц размера
m n линейным пространством?
Решение. Проверим выполнение условий, пользуясь операциями над матрицами:
16
1) A B C, где A, B и C – матрицы размера m n. Поэтому первое условие выполняется.
2) A B, где A и B – матрицы размера m n, а
– произвольное число. Поэтому второе условие выполняется.
3)Операции сложения матриц и умножения матрицы на число удовлетворяют следующим свойствам:
а) A B B A;
б) A B C A B C ;
|
|
|
в) |
A 0 A, где 0 – нулевая матрица; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
г) A B 0 B A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
д) 1 A A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
е) A A, где и – произвольные числа; |
|||||||||||||||
|
|
|
ж) A A A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
з) A B A B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Таким образом, множество M m,n |
всех матриц размера |
||||||||||||||
m n является линейным пространством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример |
2. |
|
Найти координаты геометрического |
вектора |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
в новом базисе B |
e , |
e |
, |
e , где |
e |
|
|
|
, |
||
x |
i |
j |
k |
i |
j |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
e2 j k , e3 i k .
Решение. Выпишем координаты векторов ном базисе B i , j, k :
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
E1 |
|
1 |
|
, |
E2 |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e1, e2 и e3 в исход-
1
E3 0 .
1
Составляем столбцы матрицы перехода T от старого базиса к новому из записанных выше координат векторов и получаем
17
|
1 |
0 |
1 |
|
|
T |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
. |
||||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
Используя эту матрицу, получаем координаты вектора x в новом базисе:
|
|
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
0 |
|||||||
X T |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
1 1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
. |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
Таким образом, x 2e2 e3.
Пример 3.В L3 задан линейный оператор, матрица которого в базисе B e1, e2, e3 равна
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
A |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
Найти |
матрицу |
этого |
|
оператора |
в |
базисе |
||
B e1, e2, e3 e1, e1 e2, e1 e2 e3 .
Решение. Выпишем координаты векторов e1, e2 и e3 в исход-
ном базисе:
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||
E1 |
|
0 |
|
, |
E2 |
|
|
1 |
|
, |
E3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
Составляем столбцы матрицы перехода T от старого базиса к новому из записанных выше координат векторов и получаем
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
||
T |
|
0 |
|
, |
T |
1 |
|
|
0 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
1 . |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
Находим матрицу оператора в новом базисе:
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 1 |
2 |
0 1 |
1 1 |
|
||||||
|
|
1 |
AT |
|
0 |
|
1 |
|
|
3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
A |
T |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
2 |
5 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 1 |
|
|||||||
|
|
2 2 |
|
1 1 |
1 1 |
2 0 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
1 5 |
|
4 |
|
0 |
|
|
|
4 |
8 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 1 |
1 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
2 5 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 7 |
|
|
|||||||||
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [8], 1281, 1311, 1446, 1469.
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, контрольная работа.
ЗАНЯТИЕ № 6
СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ. ПРИВЕДЕНИЕ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Литература: [2], c. 213-219; [5], c. 102-111, 119-122; [7], c. 181-182; [15], c. 84-91;[16],c. 41-45.
Контрольные вопросы и задания
1.Какая матрица называется симметричной?
2.Что называется собственным значением и собственным вектором матрицы?
3.Как находятся собственные значения и собственные векторы?
4.В каком базисе симметричная матрица имеет диагональный вид (теорема с доказательством)?
5.При изучении каких задач используются симметричные матрицы и процесс их диагонализации?
19
Примеры решения задач Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей
|
7 |
12 |
6 |
|
A |
|
19 |
10 |
|
10 |
. |
|||
|
|
24 |
13 |
|
|
12 |
|
Решение. Записываем характеристическое уравнение:
|
7 |
12 |
6 |
1 2 1 0. |
|
10 |
19 |
10 |
|
|
12 |
24 |
13 |
|
Корни этого уравнения: 1 2 1 и 3 1. |
||||
Составляем систему для определения координат собст- |
||||
венных векторов: |
|
|
|
|
7 x1 12x2 6x3 0
10x1 19 x2 10x3 0 .12x1 24x2 13 x3 0
Подставляем в систему 1 2 1:
6x1 12x2 6x3 0
10x1 20x2 10x3 0 .12x1 24x2 12x3 0
Разделив первое уравнение на 6, второе на 10, а третье на 12, замечаем, что эта система эквивалентна одному уравнению
x1 2x2 x3 0.
Следовательно, система имеет два линейно независимых решения, соответствующих координатам двух собственных векторов, например:
a1 1, 0, 1 и |
a |
2 0,1, 2 . |
20 |
|
|