Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

9. Какова содержательная интерпретация в терминах ТАУ математических составляющих линейного дифференциального неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и начальных условий задачи (входной и выходной сигналы, передаточная функция)?

Дополнительные вопросы

1.Математическое описание линейных элементов и систем автоматического регулирования алгебраическими выражениями в операционной форме [30], с. 48-50; [31], с.40-44.

2.Математическое описание многомерных систем регулирования с помощью матриц передаточных функций [30],

с.66-67; [31], с.81-86.

3.Анализ устойчивости одномерной системы регулирования по ее характеристическому уравнению [31], с. 123-128; [32], с.108-110.

4.Анализ устойчивости многомерной системы регулирования по ее характеристической матрице [31], с.293-295; [32],

с. 110-121.

5.Определение показателей точности системы автоматического регулирования с помощью теоремы о предельных значениях, примененной к передаточной функции ошибки сис-

темы [31], с.39;181.

6.Анализ показателей качества системы регулирования по корням характеристического полинома. Диаграмма Вышне-

градского [30], с.102-104; [31], с.189-194.

7.Понятие о D-разбиении плоскости коэффициентов характеристического полинома. Использование D-разбиения для анализа устойчивости и качества систем регулирования

[31], с.155-159.

8.Алгебраический методы синтеза систем автоматизированного регулирования методом типовых передаточных функций [30], с. 192-197.

141

9. Алгебраический методы синтеза систем регулирования методом формирования желаемого расположения корней характеристического полинома (модальное уравнение) [30], с 167-175.

Пример решения задачи Пример . В контуре, состоящем из последовательно со-

единенных катушки индуктивности L , конденсатора емкости C и резистора сопротивления R в момент времени t 0 включается Э.Д.С. e(t) (рис. 30). В этот момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю. Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC (t) и тока в цепи i(t).

e(t)

Рис. 30 Решение. Поскольку элементы цепи соединены после-

довательно, то из закона Кирхгофа имеем равенство

uL uC uR e(t) (1)

где соответствующие напряжения выражаются через ток в цепи по формулам:

 

 

 

 

 

uR Ri,

(2)

uL

L

 

di

,

(3)

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

1

 

t

 

uC

 

 

0 i( )d uC (0),

(4)

C

 

 

 

 

142

 

 

i C

duC

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

duC

 

 

В силу

(2),(3)

 

 

и

 

(5) имеем

uR RC

,

 

 

 

 

 

d 2 uC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

uL

LC

 

 

и поэтому из (1)

получаем дифферен-

 

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циальное уравнение

 

 

 

 

 

d2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC RC

du

C

 

LC

 

C

e(t)

 

(6)

 

dt

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с начальными условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC (0) 0,

duC

 

 

 

 

 

1

i(0)

0.

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

t 0

 

C

 

e(t) E. Совер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай постоянной Э.Д.С.

шая преобразование Лапласа с учетом (7) получим:

 

 

uC (t) U(p),

 

duC

pU(p) uC (0) pU,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2u

C

p2U(p) uC (0)p uC (0)

p2U,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нашей задаче от дифференциального уравнения (6) пе-

рейдем к операторному уравнению U LCp2 RCp 1 E , от- p

куда находим изображение напряжения на конденсаторе:

U(p)

 

 

E

 

 

 

.

(8)

 

 

 

R

 

 

 

2

 

 

1

 

 

LCp p

 

 

 

p

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

В квадратном трехчлене выделим полный квадрат:

 

 

 

R

1

2

 

 

1

 

R

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

R

 

 

 

 

 

p

 

2

 

p

 

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

,

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

L

LC

2L

 

 

 

4L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

R

, 2

 

 

1

2 . Раскладывая дробь в (8) на

 

 

 

 

LC

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумму простейших дробей, получим

 

 

 

 

 

1

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(p) E

 

 

p 2

2

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее рассмотрим различные возможные случаи.а) Если

R 0

(сверхпроводимость), то 0, 2

 

1

и выражение (9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

примет вид U(p) E

 

p

 

. Переходя от изображения

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

к оригиналу, получим искомое напряжение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

u

C

(t) E 1 cos t E 1 cos

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:

 

 

i(t)

 

E

 

sin

 

t

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

LC

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

при R 0 имеют место гармонические

колебания тока в контуре и напряжения

 

 

 

 

 

 

б) Если сопротивление мало (R 2

L/C

), то 2

0

и

можно считать действительным положительным числом.

В

этом случае в формуле (9) выражение в скобках имеет следующий оригинал

1

 

p 2

 

1

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1 e t cos t

 

e t sin t.

 

p 2 2

 

p 2 2

 

 

 

 

 

p

 

p

p 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем искомое напряжение на конденсаторе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

uC

(t) E 1 e

 

 

cos t

 

 

e

 

sin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:

144

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

i(t) CE e t sin t

 

e t sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CE

2

2

e

t

sin t

 

E

e

t

sin t.

 

 

 

 

 

 

L

Вэтом случае имеют место затухающие колебания тока

вконтуре и напряжения на конденсаторе, причем напряжение на конденсаторе стремится к E , а ток к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Если R 2

L/C

, то 1/

 

LC, 2

0

и выражение

 

 

 

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переходя от

 

 

 

 

 

 

2

(9) примет вид U(p) E

 

 

 

 

.

 

 

p

 

p

 

 

p

 

 

изображения к оригиналу, получим искомое напряжение:

uC (t) E 1 e

 

 

 

E

 

 

 

t

 

 

1

 

 

 

t

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

LC

 

te

 

1 e

 

 

 

 

 

 

 

te

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:

t

i(t) E te LC .

L

В этом случае колебания в контуре отсутствуют, напряжение на конденсаторе стремится к E , а ток в цепи стремится к нулю.

г) Если сопротивление велико (R 2L/C ), то 2 0.

Обозначим 2 2 , где можно считать действительным положительным числом. В этом случае в формуле (9) выражение в скобках имеет следующий оригинал

1

 

p 2

 

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

p p 2 2

 

p p 2 2

 

2

1 e tch t e tsh t.

Получаем искомое напряжение на конденсаторе:

145

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога