Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

По формуле (9) получаем

 

 

 

 

 

t

sin(t )

t sintcos costsin

 

 

 

 

 

t

d sin

 

t

d cost

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

sint

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

1 cos

0

 

 

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

0

 

2 sin

0

1 cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

t

 

1

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sint

 

 

ln

 

 

 

sint arctgcos

 

 

 

 

 

 

sintln

 

 

 

cost arctgcost

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

sin

2

0

 

 

 

 

0

2

 

2

 

 

sin

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

 

 

 

 

 

1)

Решить задачу Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3x

 

2x e

t

,

 

x(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (0) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Решить задачу Кошиx

 

x

 

tcos2t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(0) x (0) 0.

 

 

 

 

 

3)

Решить задачу Кошиx

 

2x

 

tsint,

 

 

 

 

(0) 0.

 

 

 

 

 

 

 

x(0) x

 

 

 

 

 

 

 

Решить задачу Кошиx

 

x

 

 

 

 

 

e2t

 

x(0) x

 

 

 

 

 

 

4)

 

2 et ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(0) 0.

 

 

 

 

 

5)

Решить задачу Кошиx

 

x

 

 

tht, x(0)

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0) 0.

 

 

 

 

 

6)

Решить задачи [23], №№ 611-620

 

 

 

 

 

 

 

 

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 44-46

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Литература: [12], с. 429; [21], с. 268-269; [23], с. 140-142; [22], с. 273-278.

Контрольные вопросы и задания

1. Какова схема решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом? Какие теоремы операционного исчисления при этом используются?

136

2.Что представляет собой операторная система дифференциальных уравнений?

3.Каковы преимущества операционного метода решения систем дифференциальных уравнений перед классическим методом?

Дополнительные вопросы

1.Применение систем дифференциальных уравнений для описания многомерных систем автоматического регулирования. Как по структурной схеме системы регулирования составить ее описание в операторной форме дифференциальных уравнений? [31], с 81-84.

2.Общая схема численного решения систем дифференциальных уравнений [32], с.129-132

3.Порядок приведения системы дифференциальных уравнений произвольного порядка к матричной форме в операторной записи [30], с.82-84.

4.Способ перехода от матричной формы операторной записи системы дифференциальных уравнений к описанию в пространстве состояний (нормальной форме Коши) [30], с.8891; [31], с.88-94.

5.Как составить уравнения Эйлера для численного решения систем дифференциальных уравнений, представленных в нормальной форме Коши? [32], с.121-123.

6.Характеристическая матрица системы дифференциальных уравнений. Порядок ее составления. [31], с. 283-284;88- 92.

7.Использования собственных чисел характеристической матрицы системы дифференциальных уравнений для определения устойчивости ее решения [31], с.293; [32], с.108-121.

Примеры решения задач

Пример 1. Операционным методом решить систему уравнений

137

x y et

при x(0) y(0) 1.

x y et

Решение. Переходим в уравнениях к операторной форме

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pX Y

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X pY

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) X(p), y(t) Y(p),x

(t) pX(p) x(0)

pX 1, y (t) pY(p) y(0) pY 1.

Решаем полученную систему методом Крамера:

 

 

 

 

 

 

p

1

 

p2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

1

 

 

 

 

p2

 

 

p 2 p2

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p 1

 

 

p 1

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p(p 2)

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

p 1

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

p2 p 2

 

, Y

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

(p 1) p2 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

Раскладывая на простейшие дроби, получаем:

 

 

 

X

 

 

p2

 

p 2

 

1

 

 

 

1

 

.

 

 

 

(p 1) p2 1

 

p 1

p2 1

 

Из

таблицы

 

 

 

оригиналов

и

 

 

 

 

изображений

находим

x(t) et sint,

y(t) cost.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

138

Пример 2. Операционным методом решить систему уравнений

x 2x 2y 4z

y 2x y 2z приx(0) y(0) z(0) 1.

z 5x 2y 7z

Решение. Переходя в уравнениях к операторной форме

pX 1 2X 2Y 4Z

pY 1 2X Y 2Z ,pZ 1 5X 2Y 7Z

где x(t) X(p), y(t) Y(p), z(t) Z(p) , решаем полученную систему линейных уравнений относительно X(p),Y(p), Z(p). Имеем

X(p)

 

p2 14p 20

, Y(p)

p 7

,

 

p 1 p 2 p 3

 

p 1 p 3

Z(p)

 

p2 8p 21

 

 

 

 

.

 

 

p 1 p 2 p 3

 

 

Раскладывая рациональные дроби на простейшие, находим решение системы:

X(p)

6

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

6et e2t 4e3t

x(t),

p 1

 

p 2

p 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y(p)

 

 

3

 

 

 

2

3et 2e3t y(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

p 3

 

 

 

 

Z(p)

6

 

 

1

 

 

6

 

 

6et e2t 6e3t

z(t).

 

p 2

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

p 3

 

 

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1)Решить : [23], №№621-623; [26], №№13.131-13.136.

2)Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x 4y

, x(0) y(0) 1.

 

y 4x 3y

 

 

139

3) Решить систему дифференциальных уравнений

x x y et

, x(0) y(0) 1.

y y x et

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 47 - 48

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТОЭ И ТАУ

Литература: [12], с. 431-432; [23], с. 137-138; [22], с. 286-290.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие задачи ТОЭ решаются операционным мето-

дом?

2.Каковы особенности построения операторной схемы замещения?

3.Каков алгоритм расчета электрических цепей методом операционного исчисления?

4.Какие физические законы лежат в основе применения операторного метода к расчету электрических цепей?

5.Какие теоремы операционного исчисления используются при решении таких задач?

6.Как осуществляется переход от изображения к оригиналу при расчете электрических цепей?

7.Как зависит характер переходного процесса от корней характеристического уравнения (знаменателя изображения)?

8.Какие задачи ТАУ решаются операционным мето-

дом?

140

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога