Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ется тем, что большинство случайных величин представляют собой сумму большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых мало. Предельные теоремы теории вероятностей, о которых мы будем говорить ниже, доказывают, что вне зависимости от того, по какому закону распределено каждое из слагаемых суммы, закон распределения суммы будет близок к нормальному. Это приводит, например, к тому, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону. Нормальному закону подчиняются

ипараметры человеческого тела, если мы будем рассматривать их как случайные величины (сумма ошибок природы!). Например, рост человека или его вес. На рис. 7.1 приведены данные о росте юношей

идевушек − студентов ИИМ, которым я читал лекции в осеннем семестре.

Рис. 7.1. Гистограммы распределения студентов ИИМ по росту

Из рисунка видно, что гистограмма имеет «колоколообразный» вид. Нормальный закон распределения характеризуется функцией плотности распределения вида

	1		−	(x−mx )2
f (x) =	1		e	2σ2
				x .	(7.1)
	σx	2π		x .	(7.1)
	σx	2π

Можно показать, что mx есть ничто иное, как математическое ожидание, а σx − среднее квадратическое отклонение случайной

величины X.

Поведение плотности распределения в зависимости от параметров mx и σx показано на рис. 5.2.

Из рисунка видно, что изменение математического ожидания приводит к сдвигу максимума функции, а изменение дисперсии − к

её «уширению» либо «сужению», при росте или уменьшении σ соответственно.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному, закону есть

x			1		x	−	( x−mx )
F(x) =	f (x)dx =				e		2σ2x dx.	(7.2)
		σ	x	2π
−∞					−∞

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Найдем вероятность попадания случайной величины X на участок от α до β. Согласно формуле

P(α < X < β) = F(β) − F(α) ,

β −

(x−mx )

α −

(x−mx )

F(β) − F(α) =

2σ2x

dx −

2σ2x

dx =

2π

−∞

β − ( x−mx )

2σ2x

dx.

(7.3)

2π

x − mx

Сделаем замену переменных в выражении (7.3) t =

, тогда

легко показать, что

σx 2

β−mx

σx

−t2

−t

σ x

−t2

P(α < X < β) =

α−mx

β−mx

α−mx

σx

−t2

σx 2

−t2

dt −

dt .

Выражение (7.4) можно переписать короче, если ввести смотрение так называемую функцию Лапласа

(7.4)

в рас-

	2	x
Φ(x) =	2	e−t2 dt,
Φ(x) =		e−t2 dt,
	π
		0

вид которой показан на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Функция Лапласа
Из рисунка видно, что
Φ(0) = 0; Φ(− x) = −Φ(x); Φ(+∞) = 1;					Φ(−∞) = −1;
	1		β − mx		α − mx
P(α < X < β) =	1		β − mx		α − mx
		Φ		− Φ		.
		Φ		− Φ		.
	2		σx 2		σx 2
	2		σx 2		σx 2

(7.5)

(7.6)

На рис. 7.3 показан геометрический смысл этого выражения как заштрихованной площади под колоколообразной кривой, ограниченной прямыми x = α и x = β.

Рис. 7.3. Геометрический смысл вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

Вероятное отклонение. Правило 3σ

Часто требуется найти такой интервал 2E около математического ожидания, вероятность попадания в который равна заданной

величине, например ε. Для нахождения этой вероятности восполь-

зуемся соотношением (7.6) в	котором положим			α = mx − E;
β = mx + E. Тогда после несложных преобразований, получим
	E
ε = Φ			.	(7.7)
ε = Φ			.	(7.7)
	σx	2
	σx	2

Для заданного ε по таблицам функции Лапласа находим аргу-

	E		E					E	= γ, то-
мент		при котором Φ			= ε.	Допустим,

	σx 2		σx					σx 2
				2
гда E = γσx		2. Например, пусть ε = 0,5,				тогда по таблицам Лапла-
са находим		γ = 0,477 и, следовательно,				E = 0,675σx . Таким обра-
зом, с вероятностью 50 % значения случайной величины X, подчи-
ненной нормальному закону попадают в интервал							(mx − 0,675σx ,

mx + 0,675σx ). Величина E = 0,675σx при этом называется вероят-

ным отклонением.

Поставим теперь задачу по-другому. Пусть требуется определить вероятность попадания в заданный интервал E, симметричный около математического ожидания. Будем измерять E в единицах среднего квадратического отклонения. Тогда получим

E = σx ; P(mx − σx < X

P(mx − 2σx < X < mx

P(mx − 3σx < X < mx

σx

< mx + σx ) = Φ

= Φ

= 0,677;

σx

E = 2σx ;

2σ

+ 2σx ) = Φ

= Φ

= 0,953;

σx

E = 3σx ;

3σ

+ 3σx ) = Φ

= Φ

= 0,997. (7.8)

σx

Из выражения (7.8) видно: с вероятностью почти единица значение случайной величины попадет в интервал (mx − 3σx ,

mx + 3σx ). Иначе говоря, при нормальном законе распределения

почти все значения случайной величины не уклоняются от математического ожидания больше, чем на 3σx . Отсюда следуют такие

практические выводы:

1. Если известно, что случайная величина распределена по нормальному закону и дано некоторое множество ее значений, то σx

приблизительно можно определить, разделив разницу между мак-

симально удаленным значением и средним на 3, т.е. σx ≈ xmax − x . 3

2. По множеству значений случайной величины приближенно

	N		N
	(xi − x)2		xi
находят σx ≈	i=1	, где x =	i=1	.
	N − 1
			N

Если самая удаленная точка отличается от среднего значения не более чем на 3σx , то закон распределения можно принять за нор-

мальный (конечно, в дальнейшем следует провести дополнительные исследования).

Пример. Фирма производит молодежную женскую обувь. Для успешной продажи нужна информация о размерах, требующихся покупателям. Размер ноги у молодого поколения, считаем нормально распределенным со средним значением 37 и стандартным отклонением 1,5 размера. Какая часть девушек имеет размер между

40 и 42?

Покажем, как с помощью программы Excel построить нормальный закон распределения с данными числовыми характеристиками,

азатем решим поставленную задачу.

1.Введем метки x и f (x) в ячейки A1 и B1.

2.Введем в столбец A численные значения. Начнем с минималь-

ного размера	mx − 3 σx = 37 − 4,5 = 32,5 и будем прибавлять по
0,1 σx = 0,15.	Введем число 31.0 в ячейку A2 и 31.15 в ячейку A3.

Выделим ячейки A2:A3, щелкнем по маркеру заполнения в нижнем правом углу выделенной области и перетащим к ячейке A81.

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки