Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

На рис. 7.8 показана геометрическая интерпретация плотности распределения как поверхности.

Рис. 7.8. Геометрическая интерпретация плотности распределения системы двух случайных величин

Между функцией распределения и плотностью распределения существует простая связь:

−∞ −∞

В справедливости этого выражения легко убедиться, если взять производную по переменному верхнему пределу. Тогда получим выражение (7.12).

Свойства функции плотности распределения f (x, y) вытекают из свойств функции распределения F(x, y) :

1)так как F(x, y) неубывающая функция, а f (x, y) ее производная, то f (x, y) ≥0;

2)поскольку F(+∞, +∞) =1, то из выражения (7.14) следует

+∞ +∞

f (x, y) dxdy =1.

−∞ −∞

66

Лекция 8. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМУ

Условные законы распределения

Обратимся к третьему свойству функции распределения системы. Смысл его в том, что оно связывает функцию распределения системы с функцией распределения одного аргумента: F(x, + ∞) =

= F1(x); F(+∞, y) = F2 ( y). Вернемся к примеру с ростом и весом человека. Функция распределения F1(x) есть вероятность того, что вес человека будет меньше заданного P(X < x), и эта вероятность не зависит от того, какой рост у человека, и, наоборот, F2 ( y) есть

вероятность того, что рост человека будет меньше заданного P(Y < y), и эта вероятность не зависит от того, какой вес у челове-

ка. Понятно, должна существовать связь и между такими функциями, как плотность распределения системы f (x, y), и плотностями

распределения отдельных переменных f1(x) и f2 ( y).

Теорема. Пусть f (x, y) − плотность распределения системы случайных величин (X ,Y ), тогда плотность распределения от-

Доказательство. Функция распределения системы двух случай-

нее, исходя из геометрического смысла функции распределения,

67

Данная теорема показывает, что, зная закон распределения системы величин, можно определить закон распределения каждой из них, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Недостаточно знать закон распределения каждой величины, необходимо знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Условным законом распределения случайной величины X, вхо-

дящей в систему (X , Y ), называется закон её распределения, вы-

численный при условии, что случайная величина Y приняла определённое значение. Для условной функции распределения введем обозначение F(x/y) , а для условной плотности распределения, соот-

ветственно, f (x/y).

Пример. Пусть система случайных величин (X , Y ) − это вес и рост человека. Тогда, например, если y = 180 см, а x = 50 кг, то F(50 кг/180 см) есть вероятность того, что при росте 180 см. вес

будет менее 50 кг. Понятно, что если это мужчина, то дистро-

фик, а если девушка… − то «модель»!

Зная закон распределения одной из величин, входящей в систему и, условный закон распределения другой − можно определить закон

Вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник R есть P((X ,Y ) R) = f (x, y)dxdy. Из рис. 8.1 видно,

что для того, чтобы попасть в эту область, необходимо, чтобы произошло два события. Во-первых, случайная величина X попала в элементарную полосу от x до x + dx. Во-вторых, чтобы случайная величина Y попала в элементарную полосу от y до y + dy. Произве-

дение этих двух событий и есть событие, заключающееся в том, что случайная точка попадет в элементарный прямоугольник R.

68

f (x/y) = f1(x) − случайная величина X не зависит от случайной

величины Y;

f ( y/x) = f2 ( y) − случайная величина Y не зависит от случайной

величины X.

Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны. Действительно, если случайная величина X не зависит от

случайной величины Y, т.е. f (x/y) = f1(x) , то из (8.1) следует, что

величина Y не зависит от X.

Для независимых случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределений отдельных величин

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Важнейшими числовыми характеристиками системы двух слу-

чем не отличается от смысла числовых величин, рассмотренных ранее для одной переменной. Но эти числовые характеристики никак не отражают тот факт, что случайные величины X и Y образуют систему случайных величин (X , Y ). Характеристикой именно си-

стемы случайных величин является корреляционный момент Kxy , который по определению есть

Ввиду особой важности этой характеристики приведем ее явный вид для дискретных и непрерывных величин:

70