Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Для непрерывной случайной величины

M[cx] = −∞∞ cxf (x)dx = c −∞∞ xf (x)dx = cM[x].

Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение μ.

Модой непрерывной случайной величины X называется то её значение, при котором плотность вероятности максимальна (обо-

значается так же − μ). Для непрерывной случайной величины нельзя говорить о наиболее вероятном значении, так как вероятность любого конкретного значения одинакова и равна нулю.

Медианой случайной величины X называется такое её значение, для которого выполняется равенство P(X > μe ) = P(X < μe ), то есть

прямая x = μe делит площадь под кривой функции f (x) на две рав-

ные части.

Если многоугольник (плотность) распределения имеют один максимум, то такое распределение называется унимодальным, более одного – полимодальным. Если имеет один минимум, то антимодальным. Геометрический смысл числовых характеристик показан на рис. 5.1 для непрерывной случайной величины.

Рис. 5.1. Геометрический смысл числовых характеристик

46

Моменты случайной величины

Начальным моментом k-го порядка дискретной случайной величины называется сумма

i=1

Начальным моментом k-го порядка непрерывной случайной величины называется интеграл

−∞

Здесь возможные значения случайной величины возводятся в степень k.

Таким образом, введенная ранее величина – математическое ожидание (см. формулы (5.3) и (5.4)) − есть не что иное, как первый (k = 1) начальный момент случайной величины X.

Обобщая формулы (5.7) и (5.8), можно записать

Центрированной случайной величиной называется случайная величина, представляющая собой отклонение от математического

ожидания: X = X − mx = X − M [ X ].

Центрирование случайной величины означает перенос начала отсчета в точку с координатой равной математическому ожиданию. Действительно, очевидны следующие соотношения как для дискретной, так и непрерывной случайной величины

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных. Центральный момент k-го порядка по определению есть

47

Наиболее важной характеристикой, наряду с математическим ожиданием, является второй центральный момент μ2 , называемый

дисперсией. Введем для этой величины специальное обозначение Dx или, понимая под символом D операцию нахождения диспер-

сии, D[ X ]. В явном виде эта величина имеет следующие выраже-

ния:

для дискретной случайной величины

i=1

для непрерывной случайной величины

−∞

Дисперсия есть мера рассеянности, разбросанности, случайной величины около ее математического ожидания.

Между центральными и начальными моментами существует однозначная связь. Например, для момента второго порядка − дисперсии − получим

Дисперсия имеет размерность квадрата соответствующей случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называет средним

48

квадратическим отклонением случайной величины: σx = Dx .

На рис. 5.2 показан пример вида функции плотности распределения двух случайных величин, имеющих одно и то же математическое ожидание, но разные дисперсии.

Рис. 5.2. Графическая иллюстрация моментов случайной величины

Случай на экзамене. На экзаменационном листе студента ИИМ в формуле (5.14) индекс при дисперсии был написан очень крупно, приблизительно так: DX . В ответ на мой вопрос: «Что

здесь написано?» будущий инновационный менеджер ответил: «D умноженное на X»!!!

Лекция 6 . ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

ЗАКОН РАВНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ

Если известно, что значение случайной величины находится в пределах некоторого интервала, а плотность вероятности распределения в пределах этого интервала постоянна, то говорят, что случайная величина подчинена закону равномерной плотности.

Пусть, например, известно, что поезда метро идут с фиксированным интервалом в 2 минуты. Если пассажир вышел на платформу в произвольный момент времени в отсутствие поезда, то время ожидания есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на отрезке [0, 2].

49

Закон равномерной плотности или равномерный закон распределения непрерывной случайной величины имеет функцию плотности распределения вида

рис. 6.2 – функция распределения F(x) для закона равномерной плотности.

Рис. 6.1. Функция плотности распределения

Рис. 6.2. Функция распределения для закона равномерной плотности

50