Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Сравнивая выражение (9.9) с выражением (9.4), легко заметить, что f ( y/x) есть плотность распределения случайной величины,

имеющей нормальный закон распределения, если положить

Из этих формул видно, что от x зависит только математическое ожидание, но не дисперсия. При этом my/x есть условное матема-

тическое ожидание. В геометрическом плане выражение (9.10) представляет собой линию, которая называется линией регрессии случайной величины Y на X.

Числовые характеристики функций случайных величин

На практике часто возникает необходимость определять статистические характеристики функции от случайных величин.

В математическом плане задача ставится следующим образом. Случайная величина Y есть неслучайная функция нескольких слу-

чайных величин Y = ϕ(X1... Xn ). Известны математические ожидания и дисперсии аргументов: mx1 ... mxn и Dx1 ... Dxn . Требуется

определить математическое ожидание и дисперсию функции M[ϕ(X1...Xn )] = mϕ и D[ϕ(X1...Xn )] = Dϕ . Начнем с простейшего

случая, когда имеется случайная величина X с заданным законом распределения f (x) и случайная величина Y, связанная с X функ-

циональной зависимостью Y = ϕ(X ). Требуется определить mϕ и Dϕ . Рассмотрим сначала случай, когда X дискретная случайная величина с известным рядом распределения:

76

Тогда возможные значения величины Y и вероятности этих значений даются рядом распределения

−∞

Дисперсия функции в соответствии с ее определением есть для дискретной случайной величины

i=1

Для непрерывной случайной величины

−∞

Обобщая вышеприведенные формулы на функцию многих случайных аргументов, например для непрерывных случайных величин, получим

−∞ −∞

Примечательным в приведенных выше выражениях является то,

что для определения числовых характеристик функций случайных

77

аргументов достаточно знать только закон распределения аргу-

ментов. Более того, если функция линейно зависит от своих аргументов, то знать закон их распределения тоже не обязательно. Для определения числовых характеристик в этом случае достаточно знать только числовые характеристики самих аргументов. Нетрудно показать справедливость следующих соотношений.

1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина

Действительно, если рассматривать неслучайную величину с как частный вид случайной, принимающей единственное значение с

вероятностью p = 1, то M [c]= p c = 1 c = c.

3. Дисперсия не случайной величины равна нулю:

3. Не случайная величина может быть вынесена за знак матема-

4. Вынесение не случайной величины за знак дисперсии и сред-

5. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий

78

6. Применяя результаты пп. 1−5, можно показать, что математическое ожидание линейной функции от случайных аргументов равно линейной функции от математических ожиданий аргументов:

79

Приведенные правила еще раз подчеркивают важное свойство математического ожидания как линейного оператора. Приведем еще ряд полезных соотношений для нелинейной функции – произведения случайных величин:

а) математическое ожидание произведения случайных величин

б) дисперсия произведения независимых случайных величин

Рассмотренный выше аппарат числовых характеристик позволяет определять числовые характеристики функций случайных аргументов, зная лишь числовые характеристики самих аргументов. В этом заключается его удобство. Однако применим этот аппарат, главным образом, к линейным функциям. Если исходная функция нелинейна, то выйти из положения можно следующим образом.

Допустим, что значения случайной величины X ограничены пре-

делами α и β, а случайная величина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью

Разложим функцию Y в ряд около точки mx и ограничимся членами первого порядка малости

Чем меньше интервал (α, β), тем точнее выполняется соотношение

(9.29). Так как теперь функция Y является линейной относительно аргумента X, то для нахождения ее математического ожидания и дисперсии можно применить аппарат числовых характеристик:

80