Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 11.3. Зависимость оценки средней цены от количества выборок

Лекция 12. СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ОЦЕНОК. МЕТОД МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ

Свойства средней выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений извлечена повторная выборка x1,..., xn . Пусть гене-

ральная средняя неизвестна и требуется ее оценить по данной выборке. Докажем, что если в качестве оценки выбрать среднюю вы-

борочную xв , то эта оценка является несмещенной оценкой генеральной совокупности xг .

Рассмотрим выборку в гипотетическом варианте, т.е. xв как случайную величину Xв , а x1,..., xn как X1,..., Xn – соответствую-

щие независимые одинаково распределенные случайные величины с ограниченной дисперсией. Так как эти величины имеют один и тот же закон распределения, совпадающий с законом распределения

101

случайной величины X, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в том числе математические ожидания.

	M[X ] = M[X1] = ... = M[Xn ] = a;
M[Xв] =	M[X1 + X2 + ... + Xn ]	=	1	M[ X + X +	... + X ] =	1 na.
	n		n			n

Таким образом, математическое ожидание средней выборочной совпадает с математическим ожиданием генеральной совокупности,

т.е. оценка − несмещенная. В соответствии с предельной теоремой Чебышева эта оценка является и состоятельной. Действительно, по теореме Чебышева, при n → ∞ среднее арифметическое величин

x1,..., xn стремится к математическому ожиданию M[X ] = a, т.е.

оценка − состоятельная.

Можно показать, что если X подчиняется нормальному закону, то оценка является и эффективной.

Свойства выборочной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объемом n. По данной выборке необходимо оценить неизвестную генеральную дисперсию. Казалось бы, что в качестве оценки следует взять выражение

	1	n	(xi − xв)2 , где		n	xi
Dв =				xв =	i=1		,
	n				n
		i=1

однако эта оценка является смещенной. Действительно, переходя к гипотетическому толкованию выборки, получим

(Xi − Xв)2

M[Dв] = M

n i=1

Учтем, что M[X

= X

− m

] = M[X

] = m

, тогда

= X

− m ;

(Xi − Xв)

;

= (Xi − Xв)

102

Dв =

1 (Xi − X

в)2 ]

(Xi − X

в)2 ] =

n i=1

− 2Xв Xi + nX

i=1

+ X в2;

Xi2

в2

Xi2 − 2Xв

i=1

M[Dв] =

1 M[ Xi2 ] − M[Xв2 ] =

i=1

− 1

D[Xi ] − D[Xв] =

nDг −

Dг.

n i=1

Таким образом, несмещенная оценка генеральной средней будет

	n		1	n
Dг =		Dв =			в)2 = S 2.
				(Xi − X
	n − 1
			n − 1 i=1

Величина S 2 носит название исправленной выборочной дисперсии. Легко видеть, что она является состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

Асимптотические свойства оценки

Всякая оценка θ* (X1,..., Xn ) как функция от «гипотетических»

результатов наблюдения является случайной величиной, и, следовательно, ее свойства определяются функцией распределения. Причем

закон распределения оценки θ* зависит от объема выборки n. Получение закона распределения оценки для данного объема выборки n − сложная задача, поэтому обычно пользуются асимптотическим законом распределения оценок, т.е. при n → ∞ . В этом случае говорят об асимптотической несмещенности и асимптотической эффективности оценки.

Из асимптотической несмещенности оценки не следует ее несмещенность в обычном смысле и наоборот. На практике асимптотическая дисперсия оценки обычно оказывается меньше, чем дисперсия в обычном смысле.

Если есть θ1* и θ*2 − две различные асимптотически несмещенные оценки параметров θ , то оценка θ1* называется более эффективной, чем θ*2 , если D1 < D2 .

103

Метод максимального правдоподобия. Определение неизвестных параметров нормального закона распределения

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Известно, что закон распределения наблюдаемой случайной ве-

личины X описывается плотностью распределения f (x,θ), где θ –

параметр распределения. Если рассматривать выборку в гипотетическом смысле, то X1,..., Xn – независимые одинаково распреде-

ленные случайные величины. Тогда для любого реализованного

значения выборки x1,..., xn плотность	распределения есть
L(x1,..., xn , θ) = f (x1, θ) f (x2 , θ) ... f (xn , θ) .	Таким	образом,

L(x1,..., xn , θ) задает вероятность получения при извлечении выборки объема n именно наблюдений x1,..., xn . Поэтому чем больше L, тем правдоподобнее выборка x1,..., xn . Потребуем подобрать не-

известный параметр распределения θ так, чтобы реализованная выборка была наиболее правдоподобной, т.е. чтобы функция правдоподобия L достигала максимального значения, найти

max L(x1,..., x2 , θ).	(12.1)
θ

Если L(x1,..., xn , θ) – дифференцируемая функция, то условие максимума

∂L	= 0,	∂2L	< 0.	(12.2)
∂θ		∂θ2

Пример 1. Пусть случайная величина X распределена в генеральной совокупности по нормальному закону. Оценить по данным вы-

борки x1,..., xn математическое ожидание и дисперсию, т.е. неизвестные параметры нормального закона:

f (x, θ) = f (x, θ							1		−	(x−mx )2
	, θ	2	) = f (x, m	x	, σ2 ) =		1		e	2σ2x .
	, θ		) = f (x, m		, σ2 ) =				e	2σ2x .
1					x	σx		2π
Построим функцию правдоподобия						σx		2π
Построим функцию правдоподобия
L(x1,... xn , θ) = f (x1, θ) f (x2 , θ) ... f (xn , θ);											(12.3)

104

(x −m

−

n x

2σ2x

L(x1

,..., xn , mx , σx ) =

σx

2π

...

σx

2π

(x −m

−

e i=1

2σ2

x .

(σx

2π )n

∂L = 0 и

∂ ln L

Учитывая, что соотношения

= 0 равносильны, а

∂θ

корни последнего уравнения найти проще, получим

(x − m

ln L = ln(

) −

(σx 2π )n

2σ2x

i=1

Оценки для математического ожидания и дисперсии находятся

из соотношений	∂ ln L
		= 0;
	∂m x
		(12.4)
	∂ ln L
		= 0.
	2
	∂σx

Раскрывая выражения (12.4) в явном виде, получим

∂ ln L =	1	n
		(xi − mx ) = 0.
	σ2x
∂m x		i=1

Из этого выражения следует формула для оценки математического ожидания:

			n
		xi
	mx =	i=1		.
			n
	∂2 ln L
Легко показать, что			= −	n	< 0, т.е. находится дей-
	∂mx2			σ2x

ствительно максимум функции. Для оценки дисперсии сделаем замену σ2x = x, тогда

		1		1	n
ln L = n ln			−		i=1 (xi − mx )2 ;
	(	x 2π )n		2x

105

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки