Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 12.2. Распределение Стьюдента при различном объеме выборки

При этом M[T ] = 0 и D[T ] = n −n 2 при n > 2.

Распределение Пирсона

Рассмотрим n нормально распределенных величин X1,..., Xn c нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией:

M[X1] = ... = M[Xn ] = 0; D[X1] = ... = D[Xn ] = 1
и функцию от них:
χ2 = X12 + ... + Xn2.	(12.14)

Плотность распределения случайной величины χ2 носит назва-

ние «распределение Пирсона» или « χ2-распределение». На

рис. 12.3. показано распределение Пирсона для различного объема выборки n. Можно показать, что при n → ∞ распределение асимп-

тотически нормальное с центром в точке χ2 = n и дисперсией 2n.

Легко

показать,

что исправленная выборочная

дисперсия

− X

S 2

i n

связана с величиной χ2 соотношением

n − 1

i=1

χ2 =

S2 (n − 1)

(12.15)

σ2x

111

Рис. 12.3. Распределение Пирсона

Лекция 13. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК

Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии

Существует два подхода к построению доверительных интервалов при нахождении оценок параметров. Первый из них приводит к построению «точных» доверительных интервалов и основан на переходе от закона распределения оценки θ*, которая зависит от самого неизвестного параметра θ, к какой-нибудь другой функции от наблюдаемых величин X1,..., Xn , которая уже не зависит от неиз-

вестных параметров. Второй способ – приближенный. Продемонстрируем применение этих подходов на следующих примерах.

Пусть получена выборка x1,..., xn из нормальной генеральной совокупности с неизвестными параметрами mx и Dx . По этим дан-

	n		n
	xi2	и s2 =	(xi − xв)2
ным получены оценки параметров x =	i=1		i=1	.
ным получены оценки параметров x =				.
в	n		n − 1
	n		n − 1

Требуется построить доверительный интервал для оценок этих параметров.

112

Доверительный интервал для математического ожидания

В соответствии с постановкой задачи необходимо найти такое , чтобы выполнялось соотношение P( Xв − mx < ) = β, то есть найти

такой доверительный интервал около среднего выборочного, который с заданной вероятностью β «накрывал» бы истинное значение

математического ожидания.

в − mx

Домножим неравенство

на положительную величину

, тогда получим

− mx

n .

в − mx )

n .

Обозначив T =

n(X

получим

Таким образом, исходная постановка задачи трансформировалась в следующую:

Найти такое , чтобы с заданной вероятностью β выполнялось неравенство T < tβ , где

t =	n . То есть выполнялось равенство P(	T	< t ) = β.
t =	n . То есть выполнялось равенство P(	T	< t ) = β.
β	S2		β
	S2

В этом соотношении T – статистика, подчиненная закону Стъюдента, то есть случайная величина с известной плотностью распределения f (t). С учетом четности функции плотности рас-

пределения f (t), условие P( T < tβ ) = β равносильно

tβ

β = 2 f (t)dt.

По таблице зависимости tβ от числа степеней свободы k = n − 1

изаданной вероятности β находим tβ , а затем

=tβ sn2 .

113

Пример. Пусть произведено пять независимых опытов со случайной величиной X, распределенной нормально с неизвестными па-

раметрами mx и σx , результаты опытов указаны в табл. 13.1.

Таблица 13.1

x1	x2	x3	x4	x5
−2,5	3,4	−2,0	1,0	2,1

Найти оценку математического ожидания и построить вокруг него 90 % доверительный интервал, т.е. доверительный интервал, соответствующий вероятности β = 0,9.

m* =

s2 =

n (xi − m* )2 = 6, 445.

i=1

= 0,4,

n − 1 i=1

Таблица 13.2

Число степеней

Доверительная вероятность

свободы

0,1

0,2

…

0,9

…

0,999

…

6,31

…

…..

….

2,92

…

2,35

…

0,134

0,217

8,61

2,13

…

1,645

Число степеней свободы

k = n − 1 = 4.

По табл. 13.2

для дан-

ного числа степеней свободы и доверительной вероятности оп-

ределяем		tβ = 2,13 и величину
= t	s2	= 2,42, следовательно,

β	n

истинное значение математического ожидания с вероятностью 90 % находится в интервале

(–2,02; 2,82) рис. 13.1.

114

Доверительный интервал для дисперсии

Несмещенной оценкой дисперсии является величина

	1	n		1
S 2 =			в)2. Известно, что величина		(n − 1)S2 = χ2
		(Xi − X

	n − 1 i=1			σ2x

подчинена закону χ2 .

Рис. 13.2. Расположение доверительного интервала

На рис. 13.2 показана функция плотности распределения с указанием расположения интервала Iβ . Интервал Iβ можно выбрать

так, чтобы вероятность уклонения случайной величины χ2 влево и вправо за интервал была одинаковой и равна величине α2 = 1−2β ,

где β – доверительная вероятность. Действительно, так как функция плотности распределения f (χ2 ) при заданном числе степеней свободы k = n − 1 известна, то вероятность того, что случайная величи-

на χ2 выйдет за правую границу интервала χ2			есть площадь под
кривой		1
кривой
+∞	f (χ2 )dχ2 =	α .
	f (χ2 )dχ2 =	α .	(13.1)
χ2		2
1

115

Источник: https://studfile.net/preview/16708854/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ
1 Аминокислоты. Белки