Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

что при n бросках в серии «герб» выпадет больше, чем n2 − 1 раз, а

дет менее чем n2 + 1 раз. Эти две зависимости получены с использо-

ванием функции БИНОПРАСП (Вставка → Функция → Статистические → БИНОМРАСП). В функции БИНОМРАСП задают-

ность успеха p = 0,5, интегральная = 1. Из рисунка видно, что при

большом числе испытаний частота события приближается к вероятности события.

Рис. 10.4. К теореме Бернулли

Приведем ряд теорем «закона больших чисел».

Неравенство Чебышева. Пусть имеется случайная величина X с числовыми характеристиками mx и Dx . Тогда для любого ε > 0

вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего

91

математического ожидания больше, чем на ε, ограничена сверху величиной Dε2x , т.е. P( X − mx ≥ ε)≤ εD2 .

Теорема Чебышева. При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значение случайной величины

X сходится по вероятности к ее математическому ожиданию mx .

Если X1,... , Xn − значения случайной величины X в n опытах, то

n Xi

n → ∞ среднее арифметическое наблюдаемых значений величин X1,..., Xn сходится по вероятности к среднему арифметическому их

математических ожиданий. Если случайные величины X1,..., Xn

зависимы, то по теореме Маркова можно найти условие при котором среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Теорема Маркова. Если имеются зависимые случайные величины X1,..., Xn и если при n → ∞

то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин X1,..., Xn сходится по вероятности к среднему арифметиче-

скому их математических ожиданий.

Центральные предельные теоремы касаются уже не средних величин массовых случайных явлений, а предельных законов распределения.

92

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема). Закон рас-

пределения суммы независимых случайных величин Yn = n Xi

i=1

приближается к нормальному закону, если все величины имеют конечные математические ожидания, дисперсии и удельный вес каждого отдельного слагаемого стремится к нулю при увеличении числа слагаемых.

Заметим, что теорему Ляпунова можно распространить и на зависимые случайные величины.

Лекция 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Задачи математической статистики

Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Первая задача математической статистики – указать методы сбора статистических сведений, вторая – разработать методы анализа статистического материала в зависимости от поставленных целей. В качестве целей обычно рассматриваются оценка:

1)неизвестной вероятности события;

2)неизвестной функции распределения;

3)параметров известного распределения;

4)степени зависимости одной случайной величины от другой, а также проверка статистических гипотез о виде неизвестного закона распределения.

Генеральная и выборочная совокупности

Генеральная совокупность – совокупность объектов, из которой производится выборка. Каждый объект характеризуется некоторым количеством признаков, значение которых может меняться от объекта к объекту.

Выборочная совокупность (выборка) – совокупность случайно отобранных объектов.

93

Объем совокупности – число объектов данной совокупности. Повторная выборка – совокупность, при которой отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед выбором

следующего объекта.

Бесповторная выборка − совокупность, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность перед выбором следующего объекта.

Если выборка правильно отражает пропорцию генеральной совокупности, то она называется представительной или репрезентативной. Выборка будет представительной, если ее осуществить случайно и все объекты при этом имеют одинаковую вероятность попасть в эту выборку.

Например, требуется узнать мнение москвичей о внедренной в общественном транспорте автоматической системе контроля пассажиров (АСКП). Понятно, что генеральной совокупностью является всё взрослое население Москвы, опросить которое невозможно. Поэтому необходимо сделать выборку, но такую, которая правильно отражала бы мнение большинства. В том числе стариков, беременных женщин, инвалидов, пассажиров с малолетними детьми, тех, у кого нет личного транспорта и др. Тогда мы получим репрезентативную выборку. Если же в качестве выборки использовать разработчиков, изготовителей, заказчиков и просто тех, кто давно не ездит в общественном транспорте, – тогда мы получим восхищенные отзывы об АСКП.

Две интерпретации выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n , тогда выборку можно интерпретировать двумя способами.

1. Практический вариант. Под x1,..., xn понимаются фактически

наблюдаемые в конкретном эксперименте значения исследуемой случайной величины X, т.е. x1,..., xn − конкретные числа.

2. Гипотетический вариант. Под X1,..., Xn понимается лишь

обозначение тех n значений, которые мы могли бы получить. В такой интерпретации X1,..., Xn − случайный вектор. Причем закон

распределения каждой его компоненты один и тот же и совпадает с

94

законом распределения случайной величины X т.е. f (x1) = = f (x2 ) =... = f (xn ) = f (x) .

Статистическое распределение выборки

Для вычисления теоретических значений характеристик генеральной совокупности необходимо знать закон распределения случайной величины в генеральной совокупности, однако на практике его заменяют эмпирическим (выборочным) законом, вычисленным только на основе имеющихся в нашем распоряжении выборочных данных. В уменьшенной модели исследуемой генеральной совокупности наблюдаемые, т.е. практически реализованные, значения

x1,..., xn интерпретируются как возможные, а вероятности появле-

ния этих возможных значений приписываются равными зарегистрированным относительным частотам их появления. То есть если

x1,..., xn различны, то эта вероятность равна 1n . Если среди них есть совпадения (т.е. xi наблюдается ni раз), то вероятность их появления приравнивается к относительной частоте wi = nni Наблюдаемые

значения xi называются вариантами, а последовательность вари-

антов, записанную по возрастанию, – вариационным рядом. Наиболее простой задачей математической статистики является

определение числовых характеристик рассматриваемой совокупности, характеризующих среднее значение и разброс.

Генеральная и выборочная средние

Генеральная средняя – среднее арифметическое значение признака объекта в генеральной совокупности.

г N

Пусть генеральная совокупность объема N содержит объекты с различными значениями признака X и из этой совокупности наудачу извлечен объект xi . Вероятность извлечения объекта с призна-

95