Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
В математическом плане задача ставится следующим образом. Пусть случайные величины X и Y подчинены нормальному закону. Будем считать, что дисперсии этих случайных величин неизвестны,
но одинаковы: σ2x = σ2y = σ2. Пусть n и m − объемы выборок из ге-
неральных совокупностей X и Y соответственно. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий:
H0: M[X ] = M[Y ]
относительно альтернативной
H1: M[ X ] ≠ M[Y ];
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
= 1 Xi ; |
|
|
|
1 |
Yi |
||||||
|
X |
Y |
= |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
m i=1 |
||||||
Для дисперсии выберем несмещенную оценку: |
|||||||||||||||
|
1 |
|
n |
|
|
|
1 |
|
m |
||||||
Sx2 = |
|
|
)2 , Sy2 |
= |
|
|
|
|
)2. |
||||||
(Xi − X |
|
(Yi − Y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n − 1 i=1 |
|
|
m − 1 i=1 |
|||||||||||
Так как по условию σ2x = σ2y = σ2 , |
|
то для оценки σ2 целесооб- |
|||||||||||||
разно использовать эту информацию и в качестве оценки дисперсии взять взвешенное значение от обеих выборок:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 = |
Sx2 (n − 1) |
+ Sy2 (m − 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + m − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если гипотеза |
|
H0 справедлива, то случайная величина |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
− Y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подчинена нормальному |
|
закону |
с |
параметрами |
|
|
|
|
|
] = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M[ X |
− Y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D[X − Y ] = σ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
M[X |
|
− Y ] = M[X ] − M[Y ] = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D[X ] |
|
|
D[Y ] |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
D[X − Y ] = D[X ] |
+ D[Y ] = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= D |
|
+ |
|
|
= σ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
n |
|
|
m |
|||||||||||
величина σ2 неизвестна. Понятно, что в этом случае оценка дисперсии разности средних значений может быть выражена формулой
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
Sx2 (n − 1) + Sy2 (m − 1) |
|
|||
SX |
|
|
= |
|
+ |
|
S |
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
. |
−Y |
|
|
|
|
|
n + m − |
2 |
|||||||||
|
|
|
n |
|
m |
|
n |
|
m |
|
||||||
131
При этом легко показать, что
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M[SX |
|
|
] = σ |
|
|
|
+ |
|
|
= D[X − Y ]. |
||||
−Y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
||
Известно, что, если величина X − Y подчинена нормальному закону, то статистика
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
X |
− Y |
= |
|
|
|
|
|
X − Y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
SX |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 Sx2 (n − 1) + Sy2 (m − 1) |
|
||||||||
|
−Y |
+ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + m − 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|||||
подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы k = n + m − 2.
При заданном α по таблицам функции Стъюдента находим tкр , при этом выбор значения tкр зависит от рассматриваемой конкури-
рующей гипотезы.
Если рассматривается гипотеза H1: M[ X ] ≠ M[Y ], то tкр на-
ходится по приложению 2 критических точек распределения Стъюдента для двухсторонней критической области такое, чтобы
выполнялось равенство |
P( |
|
t |
|
> tкр) = α. Далее вычисляем по выбор- |
|||||
|
|
|||||||||
кам значение tнабл = |
|
|
|
|
x − y |
|
nm(n + m − 2) |
, и если его |
||
(n − 1)sx2 + (m − 1)s2y |
n + m |
|||||||||
|
|
|||||||||
модуль больше tкр , то |
гипотеза H0 |
отвергается, в противном слу- |
||||||||
чае она принимается. |
|
|
|
|
|
H1: |
M[X ] > M[Y ] , |
то строится |
||
Если рассматривается гипотеза |
||||||||||
правосторонняя критическая область. При этом критическая точка находится также по таблицам приложения 2, но для односторонней
критической области. Если tнабл < tправост.кр − нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если рассматривается гипотеза H1: M[X ] < M[Y ], то строится
левосторонняя критическая область. При этом критическая точка находится также по таблицам для односторонней критической области и в силу симметрии распределения Стьюдента полагают
tлевост.кр = −tправост.кр . Если tнабл > −tлевост.кр , нет оснований отвер-
132
гать нулевую гипотезу. Если tнабл < −tлевост.кр , нулевую гипоьезу
отвергают.
Пример. Решим поставленную задачу о земельных участках при неизвестной дисперсии цен.
Дано: m =5 , x = 7500 уе. . , n = 7 , y = 8000 уе. . ,
sx2 = 3,5000000 ( уе. )2 , s2у = 7000000 ( уе. )2. |
|
|||
α = 0,05 |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
рассчитаем tнабл = |
x − y |
|
nm(n + m − 2) |
= −0,39. |
(n − 1)sx2 + (m − 1)s2y |
|
n + m |
||
|
|
|
||
Число степеней свободы k = n + m − 2 = 10. |
|
|||
1. Для конкурирующей гиротезы H1: |
M[ X ] ≠ M[Y ] по таблице |
|||
критических точек распределения Стьюдента находим tкр = 2,23.
Так как | −0,39 | < 2,23 , нулевую гипотезу принимаем.
2. Для конкурирующей гиротезы H1: M[X ] > M[Y ] по таблице критических точек распределения Стьюдента находим tкр = 1,81.
Так как –0,39 < 1,81, нулевую гипотезу принимаем.
3. Для конкурирующей гипотезы H1: |
M[X ] < M[Y ] критиче- |
ская точка tлевост.кр = −tправост.кр , то есть |
tлевост.кр = −1,81. Таким |
образом, и в этом случае нет оснований отвергнуть принятую гипотезу так как –0,39 > –1,81.
Замечание. Для нахождения критических точек с помощью программы Excel нужно воспользоваться функцией СТЬЮДРАСПОБР
(Вставка → Функция → Мастер функций → Статистические
→ СТЬЮДРАСПОБР).
Критические точки для двустронней критической области находятся, если задать число степеней свободы и уровень значимости (вероятность).
133
Рис. 15.2. Диалоговое окно функции СТЬЮДРАСПОБР
Из рисунка видно, что значение tкр = 2, 228139238 совпадает с округленным табличным значением tкр = 2,23, найденным ранее.
Для односторонней критической области в окне для задания вероятности следует задать 2 0,05.
Рис. 15.3. Диалоговое окно функции СТЬЮДРАСПОБР
134
Лекция 16. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ДИСПЕРСИЙ НОРМАЛЬНЫХ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ
Одyим из методов исследования, который применяется для тестирования нового товара или новых свойств уже привычного продукта, являетcя холл-тестирование. Этот метод позволяет выработать наиболее эффективную ценовую политику, стратегию позиционирования товара и т.д. Холл-тестирование проводится в арендуемом и специально оборудованном помещении и основывается на мнении группы людей – респондентов. Рассмотрим следующий пример. Рекламное агенство подготовило два рекламных ролика какого-нибудь товара «совершенно необходимого» для жителей России, например поясов для похудения. Необходимо выбрать один из них, прежде чем запустить телевизионную рекламу в эфир. С этой целью респондентам в количестве n = 10 человек предложено по десятибалльной шкале оценить рекламный ролик. Обозначим оценки рекламных роликов X и Y. Обработка анкет респондентов дала следующие результаты: средний балл x = y = 7, исправленные
выборочные дисперсии sx2 = 4, s2y = 6. Судя по этим данным, целе-
сообразно предпочесть первый ролик, так как разброс мнений меньше. Однако в телевизионной аудитории (генеральной совокупности) ситуация может быть иной, например дисперсии могут совпадать. Если это так, то для выбора ролика придется применить ка- кие-либо дополнительные критерии. Следовательно, возникает задача о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей по данным выборки. В общем плане задача ставится так.
Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально
ипо независимым выборкам из этих совокупностей, соответственно объемами n и m получены исправленные выборочные дисперсии sx
иsY . Понятно, что в силу ограниченности выборок значения этих
величин могут не совпадать, даже если дисперсии генеральных совокупностей одинаковы. Возникает вопрос случайно это расхождение, значимо ли оно? Иначе говоря, требуется при заданном уровне
значимости α проверить нулевую гипотезу о том, что дисперсии генеральных совокупностей совпадают.
135