Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

3. Задаемся величиной уровня значимости α, т.е. вероятностью отвергнуть истинную гипотезу, если она верна, что в геометриче-

ния K, находим точки, разделяющие всю область мыслимых значений критерия на три части.

В силу симметрии нормального закона распределения имеем

P(0 < K < ∞) = 12 .

Эта вероятность есть сумма вероятности того, что случайная величина K попадет в области 0 < K < Kкр и Kкр < K < ∞, т.е.

12 = P(0 < K < kкр) + P(kкр < K < ∞).

С другой стороны, это соотношение можно записать, используя функцию Лапласа, определяющую вероятность попадания норми-

рованной случайной величины K в интервал (0 < K < kкр). 12 = P(0 < K < kкр) + P(kкр < K < ∞) = Φ(kкр) + α2 .

Откуда Φ(kкр) = 1−2α . Обратным интерполированием по таблицам функции Лапласа определяем величину kкp , т.е. критическую

область kкр = Φ−1 1− α .2

126

Если kнабл попадает в критическую область, то гипотезу о ра-

венстве центров распределения следует отвергнуть. В противном случае можем сказать, что H0 не противоречит имеющимся экспе-

риментальным данным.

Рассмотрим случай, когда выдвигается другая альтенативная гипотеза:

1.H0: M [ X ] = M [Y ]; H1: M [ X ] > M [Y ].

3.Выбор альтернативной гипотезы определяет форму математической записи P(K > kкр) = α.

4.Выбор критической области при этом находится из условия

Пример. Решим поставленную в начале лекции практическую задачу о земельных участках.

Дано: m = 30 , x = 8000 уе. . , n = 40 , y = 7000 уе. .; D[X ] = 2000 2000 = 4000000 ( у.е)2 ;

D[Y ] = 3000 3000 = 9000000 ( уе. )2 ; α = 0,05 .

127

Проверим выдвинутую гипотезу относительно различных конкурирующих:

1. H0: M[ X ] = M[Y ]; H1: M[X ] ≠ M[Y ].

Найдем значение функции Лапласа при заданном α по формуле

нет оснований считать, что средняя цена на землю по районам отличается.

Учитывая, что критерий распределен симметрично относительно нуля, заключаем, что искомая критическая точка kкр′

Замечание. Для нахождения критических точек с помощью программы Excel нужно воспользоваться функцией НОРМОБР

(Вставка → Функция → Мастер функций → Статистические

→ НОРМОБР). Следует только учесть, что функция НОРМОБР возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения. То есть для заданного зна-

128

чения функции распределения F(x) при известных σ, m находится значение x. Учитывая, что функция распределения имеет вид

ных альтернативных гипотез выражаются через α следующим образом:

1. Двухстороння критическая область F = 1− α2 = 0,975.

Рис. 15.1. Диалоговое окно функции НОРМОБР

2. Правосторонняя критическая область F = 1− α = 0,95.

Рис. 15.2. Диалоговое окно функции НОРМОБР

129

3. Левосторонняя критическая область F = α.

Рис. 15.3. Диалоговое окно функции НОРМОБР

Проверка гипотезы о равенстве центров распределения двух нормальных генеральных совокупностей при известном и неизвестном, но одинаковом σ

Рассмотрим прежнюю задачу с земельными участками, но в следующей модификации: объем выборок в каждом из районов мал, например в первом районе m = 5, а во втором n = 7. Дисперсии цен

на землю по районам неизвестны (при таких малых объемах выборок нельзя, как мы сделали выше, считать, что исправленные выборочные дисперсии совпадают с генеральными дисперсиями). Но, исходя из сравнения характера местности и развитости инфраструктуры районов, можно полагать, что неизвестные генеральные дисперсии цен равны между собой. Пусть средняя цена по выборкам в первом районе 7500 у.е., а во втором 8000 у.е. Исправленные вы-

борочные дисперсии имеют соответственно значения sx2 = = 3,5000000 ( уе. )2 и s2y = 7000000 ( уе. )2. Требуется, как и в преж-

ней задаче, проверить гипотезу о том, что средняя цена одинакова при различных конкурирующих гипотезах:

средняя цена разная; цена в первом районе больше, чем во втором;

цена в первом районе меньше, чем во втором.

130