Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
4. C = A + B − сумма событий состоит в том, что наступает хотя бы одно из событий A или B .
Например, событие A состоит в том, что вы сдадите экзамен по данному предмету, а событие B , что нет.
5. A B = V − события A и B называются несовместными, если они не могут реализоваться одновременно (знак V означает невозможность события).
Например, событие A состоит в том, что сборная России по футболу не вышла в финал чемпионата мира, а событие B − стала чемпионом мира.
6. A1... An − события образуют полную группу событий, если хо-
n
тя бы одно из них непременно происходит. Ai = A1 + ... + An .
i=1
Например, событие Ai состоит в том, что при бросании шести-
гранной игральной кости выпадет i очков, тогда понятно, что ка- кое-нибудь число выпадет непременно. Более того, одновременно не могут выпасть два числа, т.е. события Ai и Aj несовместны, т.е.
A B = V , в этом случае говорят, что это полная группа попарно несовместных событий.
7. Два несовместных события A и A, образующих полную
группу, называются противоположными.
Пример – выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты.
Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности. Пусть имеется полная группа из n попарно несовместных и равновозможных элементар-
ных событий (исходов). Если событие A может реализоваться m элементарными исходами, то вероятность события A вычисляется
как P(A) = mn , где m − число исходов, благоприятствующих собы-
тию A , а n − общее число исходов.
11
Определим, например, вероятность события A , состоящего в том, что в результате бросания игральной кости выпадет четное число. Понятно, что такое событие может реализоваться тремя элементарными исходами: выпадает число 2, выпадает число 4, выпадает число 6. Таким образом, благоприятных элементарных исходов
3, а общее число исходов 6. Поэтому P(A) = 63 = 12 .
Из данного выше определения вероятности, легко выводятся
следствия: |
m = n , то |
||
1) вероятность достоверного события равна 1; если |
|||
P(A) = 1 ; |
|
|
|
2) вероятность невозможного события равна 0; если |
m = 0 , то |
||
P(A) = 0 ; |
|
|
|
3) вероятность противоположного события равна |
P( |
|
) = |
A |
|||
= 1− P( A) . |
|
|
|
Доказательство: если событию A благоприятствуют m случаев, будем обозначать это так: A → m , тогда для противоположного события A → n − m и по классическому определению вероятности
P( |
|
) = n − m = 1− m |
= 1− P(A) ; |
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) если A B, |
то P(A) ≤ P(B) . |
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство: |
A → m , |
B → m ≥ m , P(A) = m1 |
, |
P(B) = |
m2 |
. |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как m2 ≥ m1 , то P( A) ≤ P(B) .
Геометрическое определение вероятности. Классическим определением вероятности легко пользоваться тогда, когда вы можете посчитать число возможных исходов, а как быть, если это сделать невозможно, например когда число исходов бесконечно? Например, вы настолько плохой стрелок, что можете попасть только в квадрат мишени, причем в совершенно произвольное место. Пусть в мишени, как обычно, нарисованы концентрические круги, например один
из них радиусом a4 (рис. 1.1). Какова вероятность того, что вы попадете в круг?
12
Рис. 1.1. К понятию геометрической вероятности
Интуитивно понятно, что эта вероятность будет равна отношению площади круга к площади всей мишени, а именно:
πa2 / a2 = π . Обобщая этот пример, скажем, что геометрической
16 16
вероятностью будем называть отношение площади g , попадание в которою благоприятствует событию A ко всей площади G, куда
возможно попадание, т.е. P(A) = Gg . Или, например, воображаемая
точка бросается наудачу на отрезок длиной L, внутри которого находится отрезок длиной l ≤ L . Какова вероятность попасть в от-
резок длиной l ? Понятно, что это будет величина P(A) = Ll . Отме-
тим: приведенное выше определение подразумевает, что и круг, и отрезок могут находиться в любом месте означенных фигур.
Статистическая оценка вероятности. И классическое, и геометрическое определение вероятности предполагают наличие «равновозможных» элементарных исходов. На практике зачастую трудно выделить равновозможные случаи. Предположим, перед вами стоит задача оценки вероятности появления шести очков при бросании «неправильной» игральной кости, например кости со сточенными гранями. Длительное наблюдение над появлением или непоявлением этого события при большом числе независимых испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, показывает, что число появлений события A подчиняется устойчивым закономерностям. Если через m обозначить число появлений события A при n независимых
испытаниях, то оказывается, что отношение mn (частота события A)
13
при достаточно больших n для большинства таких серий наблюдений сохраняет почти постоянную величину. И чем большее число независимых испытаний n мы будем проводить, тем реже будут наблюдаться большие отклонения от некоторой постоянной величины, которую мы будем принимать за вероятность события A.
Аксиоматическое определение вероятности. Данное определение вероятности включает как частные случаи классическое и статистическое определение вероятности и снимает недостатки каждого из них. Этот подход предложен А.Н. Колмогоровым и связывает теорию вероятностей с теорией множеств и метрической теорией функций. В силу задач, поставленных перед данным курсом лекций, мы аксиоматический подход рассматривать не будем.
Лекция 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теоремы, которые мы сейчас рассмотрим, позволяют достаточно просто посчитать вероятности сложных событий, не занимаясь перебором всех возможных вариантов.
Напомним, что суммой событий называется событие C = A + B,
состоящее в том, что наступает хотя бы одно из событий: A, B или оба вместе.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B). |
(2.1) |
Доказательство. Для наглядности воспользуемся геометрическим определением вероятности. На рис. 2.1,а показана мишень, в
которую наудачу бросается точка. Если она попадает в область D1, площадь которой g1, то происходит событие A, а если в область D2 площадью g2 , то событие B. Так как события A и B несов-
14
местны, |
то |
эти области не |
пересекаются и, следовательно, |
|||||||||
P(A) = |
g1 |
; |
P(B) = |
g2 |
, где G − общая площадь мишени. Очевидна |
|||||||
G |
|
|||||||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||
что вероятность того, что произойдет событие C , т.е. точка попадет |
||||||||||||
в какую-либо из этих областей, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P(C) = P( A + B) = |
g1 + g2 |
= |
g1 |
+ |
g2 |
= P(A) + P(B) . |
|||||
|
|
G |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
||
а б
Рис. 2.1. К теоремам сложения и умножения вероятностей: а – несовместные события; б – совместные
Следствия:
1) для произвольного числа несовместных событий P(A1 +
+A2 + ... + An ) = P(A1) + ... + P(An ) = n P(Ai ) ;
i=1
2)если A1... An образуют полную группу несовместных событий,
то P(A1 + ... + An ) = 1.
Если A и B совместны, то справедлива теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема. Вероятность появления, хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) |
(2.2) |
Доказательство следует из геометрического смысла совместных событий (рис. 2.1,б). Суммарная площадь, отвечающая сумме собы-
15